¿Integral indefinida de X^2 - X / X + 1?

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• germano

  June 2021

  Hola,

  puesto que el numerador es de grado más elevado que el denominador, empecemos sumando y restando x en el numerador:

  ∫ [(x² + x - x - x) /(x + 1)] dx =

  ∫ {[(x² + x) - 2x] /(x + 1)} dx =

  distribuyamos:

  ∫ {[(x² + x) /(x + 1)] - [2x /(x + 1)]} dx =

  factoricemos el primer numerador y simplifiquemos:

  ∫ { {[x (x + 1)] /(x + 1)} - [2x /(x + 1)]} dx =

  ∫ {x - [2x /(x + 1)]} dx =

  (partiendo en dos integrales y sacando la constante)

  ∫ x dx - 2 ∫ [x /(x + 1)] dx =

  [1/(1+1)] x¹ ⁺ ¹ - 2 ∫ [x /(x + 1)] dx =

  (1/2)x² - 2 ∫ [x /(x + 1)] dx =

  puesto que, en el restante integrando, el numerador y el denominador son del mismo grado, sumemos y restemos 1 en el numerador:

  (1/2)x² - 2 ∫ {[(x + 1) - 1] /(x + 1)} dx =

  (distribuyendo y simplificando)

  (1/2)x² - 2 ∫ {[(x + 1) /(x + 1)] - [1 /(x + 1)]} dx =

  (1/2)x² - 2 ∫ {1 - [1 /(x + 1)]} dx =

  (partiendo en dos integrales)

  (1/2)x² - 2 ∫ dx - 2 ∫ [- 1 /(x + 1)] dx =

  (1/2)x² - 2x + 2 ∫ [1 /(x + 1)] dx =

  concluyendo con:

  (1/2)x² - 2x + 2 ln |x + 1| + C

  espero que sea de ayuda

  ¡Saludos!