¿Integral indefinida de X^2 - X / X + 1?

diego-solano

Como se resuelve la integral de X^2 - X / X + 1 Ayuda por favor!

germano

Hola,

puesto que el numerador es de grado más elevado que el denominador, empecemos sumando y restando x en el numerador:

∫ [(x² + x - x - x) /(x + 1)] dx =

∫ {[(x² + x) - 2x] /(x + 1)} dx =

distribuyamos:

∫ {[(x² + x) /(x + 1)] - [2x /(x + 1)]} dx =

factoricemos el primer numerador y simplifiquemos:

∫ { {[x (x + 1)] /(x + 1)} - [2x /(x + 1)]} dx =

∫ {x - [2x /(x + 1)]} dx =

(partiendo en dos integrales y sacando la constante)

∫ x dx - 2 ∫ [x /(x + 1)] dx =

[1/(1+1)] x¹ ⁺ ¹ - 2 ∫ [x /(x + 1)] dx =

(1/2)x² - 2 ∫ [x /(x + 1)] dx =

puesto que, en el restante integrando, el numerador y el denominador son del mismo grado, sumemos y restemos 1 en el numerador:

(1/2)x² - 2 ∫ {[(x + 1) - 1] /(x + 1)} dx =

(distribuyendo y simplificando)

(1/2)x² - 2 ∫ {[(x + 1) /(x + 1)] - [1 /(x + 1)]} dx =

(1/2)x² - 2 ∫ {1 - [1 /(x + 1)]} dx =

(partiendo en dos integrales)

(1/2)x² - 2 ∫ dx - 2 ∫ [- 1 /(x + 1)] dx =

(1/2)x² - 2x + 2 ∫ [1 /(x + 1)] dx =

concluyendo con:

(1/2)x² - 2x + 2 ln |x + 1| + C

espero que sea de ayuda

¡Saludos!