(ITA-SP) Seja m ∈ IR* tal que a reta x - 3y - m = 0 determina...?

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• laplace

  June 2021

  Reta: x - 3y - m = 0

  x = 3y + m

  Vou achar as intersecções da reta com a circunferencia em função de m:

  (x - 1)² + (y + 3)² = 25,

  (3y + m - 1)² + (y + 3)² = 25

  (m² + 6my -2m + 9y² -6y + 1) + (y² +6y + 9) = 25

  m² + 6my - 2m + 10y² + 10 = 25

  m² + 6my - 2m + 10y² = 15

  Agora vo coloca na forma ax² + bx + c para fazer Bhaskara:

  10y² + 6my + m² -2m -15 = 0

  ∆ = b²-4ac

  ∆ = 36m² -4.10.(m²-2m-15)

  ∆ = 36m² - 40(m²-2m-15)

  ∆ = 36m² - 40m² +80m +600

  ∆ = -4m² + 80m + 600

  ∆ = 4.(-m² +20m +150)

  y = ( -6m ± √4.(-m² +20m +150) ) / 20

  y = ( -6m ± 2√(-m² +20m +150) ) / 20

  y = ( -3m ± √(-m² +20m +150) ) / 10

  Estas são as coordenadas y de encontro.

  Vamos achar a x para cada uma delas.

  x = 3y + m

  x = 3.(-3m + √(-m² +20m +150)) / 10 + m

  x = -9m + 3√(-m² +20m +150)) / 10 + 10m/10

  x = (m + 3√(-m² +20m +150)) / 10)

  Analogamente, o outro x é:

  x = (m - 3√(-m² +20m +150)) / 10)

  A distancia entre esses 2 pontos deve ser 6:

  ( xb - xa )² + ( yb - ya )² = 36

  (3/5 (-m² +20m +150))² + (√(-m² +20m +150) /5)² = 36

  (-9m² + 180m + 1350) / 25 + (-m² +20m +150) / 25 = 36

  -9m² + 180m + 1350 -m² +20m +150 = 900

  -10m² + 200m + 1500 = 900

  -10m² + 200m + 600 = 0

  m² - 20m -60 = 0

  ~~~~~~~~~~~~~

  ∆ = b²-4ac

  ∆ = 400 - 4.(-60)

  ∆ = 640

  √∆ = 8√10

  m = ( -b ± √∆ ) / 2a

  m = ( 20 ± 8√10 ) / 2

  m = 10 ± 4√10

  ~~~~~~~~~~~~

  Tem o gabarito?