(ITA-SP) Seja m ∈ IR* tal que a reta x - 3y - m = 0 determina...?

lucas

(ITA-SP) Seja m ∈ IR* tal que a reta x - 3y - m = 0 determina, na circunferência (x - 1)² + (y + 3)² = 25, uma corda de comprimento 6. O valor de m é:

laplace

Reta: x - 3y - m = 0

x = 3y + m

Vou achar as intersecções da reta com a circunferencia em função de m:

(x - 1)² + (y + 3)² = 25,

(3y + m - 1)² + (y + 3)² = 25

(m² + 6my -2m + 9y² -6y + 1) + (y² +6y + 9) = 25

m² + 6my - 2m + 10y² + 10 = 25

m² + 6my - 2m + 10y² = 15

Agora vo coloca na forma ax² + bx + c para fazer Bhaskara:

10y² + 6my + m² -2m -15 = 0

∆ = b²-4ac

∆ = 36m² -4.10.(m²-2m-15)

∆ = 36m² - 40(m²-2m-15)

∆ = 36m² - 40m² +80m +600

∆ = -4m² + 80m + 600

∆ = 4.(-m² +20m +150)

y = ( -6m ± √4.(-m² +20m +150) ) / 20

y = ( -6m ± 2√(-m² +20m +150) ) / 20

y = ( -3m ± √(-m² +20m +150) ) / 10

Estas são as coordenadas y de encontro.

Vamos achar a x para cada uma delas.

x = 3y + m

x = 3.(-3m + √(-m² +20m +150)) / 10 + m

x = -9m + 3√(-m² +20m +150)) / 10 + 10m/10

x = (m + 3√(-m² +20m +150)) / 10)

Analogamente, o outro x é:

x = (m - 3√(-m² +20m +150)) / 10)

A distancia entre esses 2 pontos deve ser 6:

( xb - xa )² + ( yb - ya )² = 36

(3/5 (-m² +20m +150))² + (√(-m² +20m +150) /5)² = 36

(-9m² + 180m + 1350) / 25 + (-m² +20m +150) / 25 = 36

-9m² + 180m + 1350 -m² +20m +150 = 900

-10m² + 200m + 1500 = 900

-10m² + 200m + 600 = 0

m² - 20m -60 = 0

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∆ = b²-4ac

∆ = 400 - 4.(-60)

∆ = 640

√∆ = 8√10

m = ( -b ± √∆ ) / 2a

m = ( 20 ± 8√10 ) / 2

m = 10 ± 4√10

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Tem o gabarito?