¿Cómo demuestro que la derivada de F(x) = cos 2x es: F‘(x) = -2sen 2x...?
Si F(x) = cos x, su derivada es: F‘(x) -sin x. Ésa es la fórmula que tengo para derivar coseno.
Yo debo hacerlo de la siguiente manera:
F(x) = cos 2x
F‘(x) = lim cuando Δx --> 0 f(x+ Δx) - f(x)/ Δx
Creo que para resolverlo necesito la identidad trigonométrica de coseo, es la siguiente:
Cos (A+B) = cos A · cos B - sen A · sen B
¿Necesito sustituir la razón trigonométrica de coseno en la fórmula?
La verdad ya me revolví, intenté sustituir la razón de coseno y me quedó algo así:
cos 2x · cos 2Δx -sen 2x · sen2Δx - cos 2x/Δx
No sé si lo estoy resolviendo correctamente, el punto es que ya no sé qué debo hacer, no sé si voy bien o si de plano ya me equivoqué.
Por sacarme de dudas, muchísimas gracias.
¡Saludos!
Comments
Hola ѕαℓνα∂σя ツ, vamos a resolver las derivadas, paso a paso
y = Cos [2x]
❶ Este debe de ser el resultado al que debemos de llegar
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
y´= - 2 Sen [2x]
❷ Resolvemos
……….[f(x + h)] - [f(x)]
Lim = ━━━━━━━━
h → 0………h
Donde:
h = Δx
x = (x + h)
Cos [2(x + h)]
f(x) = Cos [2x]
………. Cos [2(x + h)] - Cos [2x]
Lim = ━━━━━━━━━━━━
h → 0 . . . . . . . . h
❸ Utilizamos la siguiente identidad
Sen [x + h] = Cos [x] Cos [h] - Sen [x] Sen [h]
❹ Sustituimos identidad en limite
. . . . . . Cos [2x] Cos [2h] - Sen [2x] Sen [2h] – Cos [2x]
Lim ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
h → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . h
❺ Factorizamos los términos 1º y 3º tomando a Cos [2x], como Factor Común
. . . . . Cos [2x] Cos [2h] – Cos [2x] - Sen [2x] Sen [2h]
Lim ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
h → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . h
. . . . . . . Cos [2x] [ Cos [2h] – 1 ] - Sen [2x] Sen [2h]
Lim ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
h → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . h
➏ Aplicamos la Propiedad de los limites de una suma
Lim [f (x) + g (x)] = Lim f (x) + Lim g (x)
x → a . . . . . . . . . .. x → a . . . .x → a
. . . . Cos [2x] [Cos [2h] – 1 ] . . . . . .. .- Sen [2x] Sen [2h]
Lim ━━━━━━━━━━━ + Lim ━━━━━━━━━
h → 0 . . . . . . . . . .h . . . . . . . . . . . .h → 0 . . . . . . . .h
➐ Recordando limites notables
. . . . . Cos u - 1
Lim ━━━━━ = 0
u → 0 . . . . u
. . . . . . Sen u
Lim ━━━━ = 1
u → 0 . . . u
➑ Los limites que tenemos los adaptamos a las formas de los limites notables
. . . . .Cos [2x] [Cos [2h] – 1 ] . . . . . . . . - Sen [2x] Sen [2h]
Lim ━━━━━━━━━━━ + Lim ━━━━━━━━━
h → 0 . . . . . . . . . .. h . . . . . . . . . . .h → 0 . . . . . . . . . h
❾ Multiplicamos por [2/2], que equivale a [1], para que no se altere
. . . . . 2 Cos [2x] [ Cos [2h] – 1 ] . . . . . . .- 2 Sen [2x] Sen [2h]
Lim ━━━━━━━━━━━━ + Lim ━━━━━━━━━━
h → 0 . . . . . . . . . . .2h . . . . . . . . . . . .h → 0 . . . . . . . .2h
Lim 2 Cos [2x] [ 0 ] + Lim - 2 Sen [2x] [1]
h → 0 . . . . . . . . . . .. . .h → 0
Lim 0 + Lim - 2 Sen [2x]
h → 0 . h → 0
Este es el Resultado
===============
Lim = - 2 Sen [2x]
h → 0
===============
Saludos
lim (cos2Îxcos2x-sen2xsen2Îx-cos2x)/Îx
Îx-->0
lim (cos2x(cos2Îx-1)-sen2xsen2Îx)/Îx
Îx-->0
Vamos a necesitar hacer una sustitucion
(cos2Îx-1)/Îx va a ser multiplicado por cos2Îx+1 en el numerador y denominador
Osea
(cos2Îx-1)/Îx * (cos2Îx+1)/(cos2Îx+1)
(cos²2Îx-1)/(Îx(cos2Îx+1))
(-sen²2Îx)/(Îx/(cos2Îx+1))
-sen2Îx/Îx*sen2Îx/(cos2Îx+1)
Vamos a separar dos limites
lim cos2x(cos2Îx-1)/Îx - lim sen2xsen2Îx/Îx
Îx-->0 Îx-->0
Vamos a hacer el primer limite sustituyendo (cos2Îx-1)/Îx con lo que encontramos arriba
lim cos2x*-sen2Îx/Îx*sen2Îx/(cos2Îx+1)
Îx-->0
cos2x * lim -sen2Îx/Îx * lim sen2Îx/(cos2Îx+1)
Îx-->0 Îx-->0
Hay una regla que te dice que si
lim sen(nx)/x = n
x-->0
Entonces
1*-2*0=0
Ese es el resultado del primer limite
Tenemos que el segundo limite es
-lim sen2xsen2Îx/Îx
Îx-->0
-sen2x * lim sen2x/Îx
Îx-->0
-sen2x*2
-2sen2x
Y ahi esta comprobado
La derivada de de cos2x = - 2sen2x es facil derivas uno de los 2 y ya tenes
Salvador.
No conozco de matemáticas.
Lo único que puedo hacer, es dejarte la operación más cercana en parecido que pude encontrar:
TRIGONOMETRÃA
Cos2x = 1 – 2Sen2x
Demostración
Recordar que:
Sen2x + Cos2x = 1 â Cos2x = 1 – Sen2x
Reemplazando en:
Cos2x = Cos2x – Sen2x â Cos2x = (1 – Sen2x) – Sen2x
â Cos2x = 1 – 2Sen2x