¿Cómo demuestro que la derivada de F(x) = cos 2x es: F‘(x) = -2sen 2x...?

anonymous

Si F(x) = cos x, su derivada es: F‘(x) -sin x. Ésa es la fórmula que tengo para derivar coseno.

Yo debo hacerlo de la siguiente manera:

F(x) = cos 2x

F‘(x) = lim cuando Δx --> 0 f(x+ Δx) - f(x)/ Δx

Creo que para resolverlo necesito la identidad trigonométrica de coseo, es la siguiente:

Cos (A+B) = cos A · cos B - sen A · sen B

¿Necesito sustituir la razón trigonométrica de coseno en la fórmula?

La verdad ya me revolví, intenté sustituir la razón de coseno y me quedó algo así:

cos 2x · cos 2Δx -sen 2x · sen2Δx - cos 2x/Δx

No sé si lo estoy resolviendo correctamente, el punto es que ya no sé qué debo hacer, no sé si voy bien o si de plano ya me equivoqué.

Por sacarme de dudas, muchísimas gracias.

¡Saludos!

ingalex2000

Hola ѕαℓνα∂σя ツ, vamos a resolver las derivadas, paso a paso

y = Cos [2x]

❶ Este debe de ser el resultado al que debemos de llegar

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

y´= - 2 Sen [2x]

❷ Resolvemos

……….[f(x + h)] - [f(x)]

Lim = ━━━━━━━━

h → 0………h

Donde:

h = Δx

x = (x + h)

Cos [2(x + h)]

f(x) = Cos [2x]

………. Cos [2(x + h)] - Cos [2x]

Lim = ━━━━━━━━━━━━

h → 0 . . . . . . . . h

❸ Utilizamos la siguiente identidad

Sen [x + h] = Cos [x] Cos [h] - Sen [x] Sen [h]

❹ Sustituimos identidad en limite

. . . . . . Cos [2x] Cos [2h] - Sen [2x] Sen [2h] – Cos [2x]

Lim ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

h → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . h

❺ Factorizamos los términos 1º y 3º tomando a Cos [2x], como Factor Común

. . . . . Cos [2x] Cos [2h] – Cos [2x] - Sen [2x] Sen [2h]

Lim ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

h → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . h

. . . . . . . Cos [2x] [ Cos [2h] – 1 ] - Sen [2x] Sen [2h]

Lim ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

h → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . h

➏ Aplicamos la Propiedad de los limites de una suma

Lim [f (x) + g (x)] = Lim f (x) + Lim g (x)

x → a . . . . . . . . . .. x → a . . . .x → a

. . . . Cos [2x] [Cos [2h] – 1 ] . . . . . .. .- Sen [2x] Sen [2h]

Lim ━━━━━━━━━━━ + Lim ━━━━━━━━━

h → 0 . . . . . . . . . .h . . . . . . . . . . . .h → 0 . . . . . . . .h

➐ Recordando limites notables

. . . . . Cos u - 1

Lim ━━━━━ = 0

u → 0 . . . . u

. . . . . . Sen u

Lim ━━━━ = 1

u → 0 . . . u

➑ Los limites que tenemos los adaptamos a las formas de los limites notables

. . . . .Cos [2x] [Cos [2h] – 1 ] . . . . . . . . - Sen [2x] Sen [2h]

Lim ━━━━━━━━━━━ + Lim ━━━━━━━━━

h → 0 . . . . . . . . . .. h . . . . . . . . . . .h → 0 . . . . . . . . . h

❾ Multiplicamos por [2/2], que equivale a [1], para que no se altere

. . . . . 2 Cos [2x] [ Cos [2h] – 1 ] . . . . . . .- 2 Sen [2x] Sen [2h]

Lim ━━━━━━━━━━━━ + Lim ━━━━━━━━━━

h → 0 . . . . . . . . . . .2h . . . . . . . . . . . .h → 0 . . . . . . . .2h

Lim 2 Cos [2x] [ 0 ] + Lim - 2 Sen [2x] [1]

h → 0 . . . . . . . . . . .. . .h → 0

Lim 0 + Lim - 2 Sen [2x]

h → 0 . h → 0

Este es el Resultado

===============

Lim = - 2 Sen [2x]

h → 0

===============

Saludos

fuolafillo

lim (cos2Δxcos2x-sen2xsen2Δx-cos2x)/Δx

Δx-->0

lim (cos2x(cos2Δx-1)-sen2xsen2Δx)/Δx

Δx-->0

Vamos a necesitar hacer una sustitucion

(cos2Δx-1)/Δx va a ser multiplicado por cos2Δx+1 en el numerador y denominador

Osea

(cos2Δx-1)/Δx * (cos2Δx+1)/(cos2Δx+1)

(cos²2Δx-1)/(Δx(cos2Δx+1))

(-sen²2Δx)/(Δx/(cos2Δx+1))

-sen2Δx/Δx*sen2Δx/(cos2Δx+1)

Vamos a separar dos limites

lim cos2x(cos2Δx-1)/Δx - lim sen2xsen2Δx/Δx

Δx-->0 Δx-->0

Vamos a hacer el primer limite sustituyendo (cos2Δx-1)/Δx con lo que encontramos arriba

lim cos2x*-sen2Δx/Δx*sen2Δx/(cos2Δx+1)

Δx-->0

cos2x * lim -sen2Δx/Δx * lim sen2Δx/(cos2Δx+1)

Δx-->0 Δx-->0

Hay una regla que te dice que si

lim sen(nx)/x = n

x-->0

Entonces

1*-2*0=0

Ese es el resultado del primer limite

Tenemos que el segundo limite es

-lim sen2xsen2Δx/Δx

Δx-->0

-sen2x * lim sen2x/Δx

Δx-->0

-sen2x*2

-2sen2x

Y ahi esta comprobado

teteo

La derivada de de cos2x = - 2sen2x es facil derivas uno de los 2 y ya tenes

alex-white_60bf8bac1eb2a

Salvador.

No conozco de matemáticas.

Lo único que puedo hacer, es dejarte la operación más cercana en parecido que pude encontrar:

TRIGONOMETRÍA

Cos2x = 1 – 2Sen2x

Demostración

Recordar que:

Sen2x + Cos2x = 1 ∈ Cos2x = 1 – Sen2x

Reemplazando en:

Cos2x = Cos2x – Sen2x ∈ Cos2x = (1 – Sen2x) – Sen2x

∈ Cos2x = 1 – 2Sen2x