La ecuación del plano tangente a una superficie en el punto P=(x₀,y₀,z₀) es:
z - z₀ = fx(x₀,y₀)*(x-x₀) + fy(x₀,y₀)*(y-y₀)
donde fx y fy son las derivadas parciales de f respecto de "x" y de "y" respectivamente.
Supongo que esa es la fórmula que estás manejando (es la más usual)
Ahora, como puedes ver en la fórmula, necesitamos determinar en punto P de tangencia y las derivadas parciales de f, y para esto último debemos obtener la expresión de f.
✔ Determinar el punto P de tangencia
Para ello sería bueno determinar el valor del parámetro "t" y así las coordenadas x₀, y₀ y z₀ de P. Aprovechando que la recta está definida paramétricamente, simplemente sustituimos en la expresión del elipsoide cada ecuación paramétrica de la recta, de manera que:
⋯⋯⋯⋯⋯(3t)² + (2t)² + 2(t)² = 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9t² + 4t² + 2t² = 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15t² = 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ t² = 2/15
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ t = ± √(2/15)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ t = ± (1/15)*√30 [Aquí racionalicé el radical]
Por lo tanto, reemplazando estos valores en las ecuaciones paramétricas:
x = ± (1/5)*√30
y = ± (2/15)*√30
z = ± (1/15)*√30
Esto nos permite considerar dos puntos de tangencia:
P = ( (1/5)*√30 , (2/15)*√30 , (1/15)*√30 )
Q = ( -(1/5)*√30 , -(2/15)*√30 , -(1/15)*√30 )
(Trabajaré sólo el punto P, con Q sería análogo)
✔ Determinar f y luego fx y fy
Si despejas z de la ecuación que define al elipsoide, se obtiene ...
z = √[-(1/2)x² -(1/2)y² + 1]
Si z = f(x,y) entonces...
f(x,y) = √[-(1/2)x² -(1/2)y² + 1)]
Ahora determinamos fx y fy:
# Respecto de "x":
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1
fx(x,y) = ––––––––––––––––––––– * (-x)
⋯⋯⋯ ⋯⋯ 2*√[-(1/2)x² -(1/2)y² + 1)]
# Respecto de "y":
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1
fy(x,y) = ––––––––––––––––––––– * (-y)
⋯⋯⋯ ⋯⋯ 2*√[-(1/2)x² -(1/2)y² + 1)]
Evaluamos dichas parciales en el punto P = ( (1/5)*√30 , (2/15)*√30 , (1/15)*√30 ) :
fx( (1/5)*√30 , (2/15)*√30 ) = - 3/2
fy( (1/5)*√30 , (2/15)*√30 ) = -1
✔ Luego, la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto P es:
z - (1/15)*√30 = (-3/2)*( x - (1/5)*√30 ) + (-1)*( y - (2/15)*√30 )
Aquí te dejo un link donde hay varios ejercicios hechos, espero te sirva, a mí me sirvió para recordar un poco de esto que hace bastante que no lo trabajo, by bye
"Ya 3 años de felicidad, viviendo tantas emociones que hasta sabes que el día de mañana así seguirá siendo" "on account that 3 years of happiness, residing the variety of high quality style of thoughts to renowned that the following day this might proceed" "Felicidades por sus 3 años y gracias por todos esos bellos momentos que nos han regalado" "Congratulations on your 3 years and thank you for all those beautiful moments that have given us"
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Hola!
La ecuación del plano tangente a una superficie en el punto P=(x₀,y₀,z₀) es:
z - z₀ = fx(x₀,y₀)*(x-x₀) + fy(x₀,y₀)*(y-y₀)
donde fx y fy son las derivadas parciales de f respecto de "x" y de "y" respectivamente.
Supongo que esa es la fórmula que estás manejando (es la más usual)
Ahora, como puedes ver en la fórmula, necesitamos determinar en punto P de tangencia y las derivadas parciales de f, y para esto último debemos obtener la expresión de f.
✔ Determinar el punto P de tangencia
Para ello sería bueno determinar el valor del parámetro "t" y así las coordenadas x₀, y₀ y z₀ de P. Aprovechando que la recta está definida paramétricamente, simplemente sustituimos en la expresión del elipsoide cada ecuación paramétrica de la recta, de manera que:
⋯⋯⋯⋯⋯(3t)² + (2t)² + 2(t)² = 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9t² + 4t² + 2t² = 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15t² = 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ t² = 2/15
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ t = ± √(2/15)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ t = ± (1/15)*√30 [Aquí racionalicé el radical]
Por lo tanto, reemplazando estos valores en las ecuaciones paramétricas:
x = ± (1/5)*√30
y = ± (2/15)*√30
z = ± (1/15)*√30
Esto nos permite considerar dos puntos de tangencia:
P = ( (1/5)*√30 , (2/15)*√30 , (1/15)*√30 )
Q = ( -(1/5)*√30 , -(2/15)*√30 , -(1/15)*√30 )
(Trabajaré sólo el punto P, con Q sería análogo)
✔ Determinar f y luego fx y fy
Si despejas z de la ecuación que define al elipsoide, se obtiene ...
z = √[-(1/2)x² -(1/2)y² + 1]
Si z = f(x,y) entonces...
f(x,y) = √[-(1/2)x² -(1/2)y² + 1)]
Ahora determinamos fx y fy:
# Respecto de "x":
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1
fx(x,y) = ––––––––––––––––––––– * (-x)
⋯⋯⋯ ⋯⋯ 2*√[-(1/2)x² -(1/2)y² + 1)]
# Respecto de "y":
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1
fy(x,y) = ––––––––––––––––––––– * (-y)
⋯⋯⋯ ⋯⋯ 2*√[-(1/2)x² -(1/2)y² + 1)]
Evaluamos dichas parciales en el punto P = ( (1/5)*√30 , (2/15)*√30 , (1/15)*√30 ) :
fx( (1/5)*√30 , (2/15)*√30 ) = - 3/2
fy( (1/5)*√30 , (2/15)*√30 ) = -1
✔ Luego, la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto P es:
z - (1/15)*√30 = (-3/2)*( x - (1/5)*√30 ) + (-1)*( y - (2/15)*√30 )
Aquí te dejo un link donde hay varios ejercicios hechos, espero te sirva, a mí me sirvió para recordar un poco de esto que hace bastante que no lo trabajo, by bye
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"Ya 3 años de felicidad, viviendo tantas emociones que hasta sabes que el día de mañana así seguirá siendo" "on account that 3 years of happiness, residing the variety of high quality style of thoughts to renowned that the following day this might proceed" "Felicidades por sus 3 años y gracias por todos esos bellos momentos que nos han regalado" "Congratulations on your 3 years and thank you for all those beautiful moments that have given us"