¿Planos tangentes calculo vectorial AYUDA.?

Determine las ecuaciones de los planos tangentes al elipsoide x^2 + y^2 + 2 z^2 = 2 en los

puntos de intersección de este con la recta x = 3t , y = 2t , z = t , t ∈ ℝ

Comments

  • Hola!

    La ecuación del plano tangente a una superficie en el punto P=(x₀,y₀,z₀) es:

    z - z₀ = fx(x₀,y₀)*(x-x₀) + fy(x₀,y₀)*(y-y₀)

    donde fx y fy son las derivadas parciales de f respecto de "x" y de "y" respectivamente.

    Supongo que esa es la fórmula que estás manejando (es la más usual)

    Ahora, como puedes ver en la fórmula, necesitamos determinar en punto P de tangencia y las derivadas parciales de f, y para esto último debemos obtener la expresión de f.

    ✔ Determinar el punto P de tangencia

    Para ello sería bueno determinar el valor del parámetro "t" y así las coordenadas x₀, y₀ y z₀ de P. Aprovechando que la recta está definida paramétricamente, simplemente sustituimos en la expresión del elipsoide cada ecuación paramétrica de la recta, de manera que:

    ⋯⋯⋯⋯⋯(3t)² + (2t)² + 2(t)² = 2

    ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9t² + 4t² + 2t² = 2

    ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15t² = 2

    ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ t² = 2/15

    ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ t = ± √(2/15)

    ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ t = ± (1/15)*√30 [Aquí racionalicé el radical]

    Por lo tanto, reemplazando estos valores en las ecuaciones paramétricas:

    x = ± (1/5)*√30

    y = ± (2/15)*√30

    z = ± (1/15)*√30

    Esto nos permite considerar dos puntos de tangencia:

    P = ( (1/5)*√30 , (2/15)*√30 , (1/15)*√30 )

    Q = ( -(1/5)*√30 , -(2/15)*√30 , -(1/15)*√30 )

    (Trabajaré sólo el punto P, con Q sería análogo)

    ✔ Determinar f y luego fx y fy

    Si despejas z de la ecuación que define al elipsoide, se obtiene ...

    z = √[-(1/2)x² -(1/2)y² + 1]

    Si z = f(x,y) entonces...

    f(x,y) = √[-(1/2)x² -(1/2)y² + 1)]

    Ahora determinamos fx y fy:

    # Respecto de "x":

    ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1

    fx(x,y) = ––––––––––––––––––––– * (-x)

    ⋯⋯⋯ ⋯⋯ 2*√[-(1/2)x² -(1/2)y² + 1)]

    # Respecto de "y":

    ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1

    fy(x,y) = ––––––––––––––––––––– * (-y)

    ⋯⋯⋯ ⋯⋯ 2*√[-(1/2)x² -(1/2)y² + 1)]

    Evaluamos dichas parciales en el punto P = ( (1/5)*√30 , (2/15)*√30 , (1/15)*√30 ) :

    fx( (1/5)*√30 , (2/15)*√30 ) = - 3/2

    fy( (1/5)*√30 , (2/15)*√30 ) = -1

    ✔ Luego, la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto P es:

    z - (1/15)*√30 = (-3/2)*( x - (1/5)*√30 ) + (-1)*( y - (2/15)*√30 )

    Aquí te dejo un link donde hay varios ejercicios hechos, espero te sirva, a mí me sirvió para recordar un poco de esto que hace bastante que no lo trabajo, by bye

    http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Plan...

  • "Ya 3 años de felicidad, viviendo tantas emociones que hasta sabes que el día de mañana así seguirá siendo" "on account that 3 years of happiness, residing the variety of high quality style of thoughts to renowned that the following day this might proceed" "Felicidades por sus 3 años y gracias por todos esos bellos momentos que nos han regalado" "Congratulations on your 3 years and thank you for all those beautiful moments that have given us"

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