= 3(1/9) = 1/3 donde se usa el resultado anterior (Pr. 4).
Amiga para que determines los elementos que están en el intervalo debemos recurrir a la definición de lÃmite para suceciones convergentes al real L.
Para todo ε > 0 existe un natural no tal que para todo n ⥠no entonces an e (L - ε, L + ε).
Apliquemos esto a lo que nos piden:
Tenemos que L = 1/3 entonces podemos escoger ε = 1/500.
Dijimos que an se podÃa escribir como:
an = 3{(1/10) + (1/10²) + ... + (1/10ⁿ) }
Entonces:
| an - 1/3 | < 1/500 <=> 1/3 - 1/500 < an < 1/3 + 1/500
Comments
0.333333..... = 3*10^{-1} + 3* 10^{-2} + 3*10^{-3} + ..... = 3 SUMATORIA 10^n .
Es una buena idea la que te dá Sergio...
Obtengamos unos pequeños resultados:
Pr.1)
( 1 - r )( 1 + r + r² + r³ + ... + rⁿ ) = 1 - r^(n + 1)
Esq Dem: ( 1 - r )( 1 + r + r² + r³ + ... + rⁿ ) = ( 1 + r + r² + r³ + ... + rⁿ ) - (r + r² + r³ + ... + r^n+1 ) = 1 - r^(n + 1)
Entonces podemos usar dicho resultado para obtener:
Pr. 2)
1 + (1/10) + (1/10²) + ... + (1/10ⁿ) = [ 1 - (1/10)^(n+1) ] / (1 - (1/10))
es decir que:
1 + (1/10) + (1/10²) + ... + (1/10ⁿ) = (10/9)[ 1 - 1/10^(n+1) ]
Observa que:
1 + (1/10) + (1/10²) + ... + (1/10ⁿ) = 1.11111... o sea hay "n" unos tras el punto decimal
Entonces:
Pr. 3)
lim (n â â) {1 + (1/10) + (1/10²) + ... + (1/10ⁿ) }
= lim (n â â) { (10/9)[ 1 - 1/10^(n+1) ] }
= (10/9)lim (n â â) {[ 1 - 1/10^(n+1) ] } = 10/9
Y como consecuencia:
Pr. 4)
lim (n â â) {(1/10) + (1/10²) + ... + (1/10ⁿ) } si factorizamos por (1/10)
= (1/10) lim (n â â) {1 + (1/10) + (1/10²) + ... + (1/10ⁿ) }
= (1/10)(10/9) = 1/9
Ahora podemos escribir que:
an = [0.3333333..] con "n" treses despuès del punto decimal ( hay una cadena de 3 despuès del punto decimal "hasta la posición n-ésima" )
0.33333.. = 3 (0.11111..) = 3[ (1/10) + (1/10²) + ... + (1/10ⁿ) ]
En consecuencia:
lim (n â â) { an } = 3 lim (n â â) {(1/10) + (1/10²) + ... + (1/10ⁿ) }
= 3(1/9) = 1/3 donde se usa el resultado anterior (Pr. 4).
Amiga para que determines los elementos que están en el intervalo debemos recurrir a la definición de lÃmite para suceciones convergentes al real L.
Para todo ε > 0 existe un natural no tal que para todo n ⥠no entonces an e (L - ε, L + ε).
Apliquemos esto a lo que nos piden:
Tenemos que L = 1/3 entonces podemos escoger ε = 1/500.
Dijimos que an se podÃa escribir como:
an = 3{(1/10) + (1/10²) + ... + (1/10ⁿ) }
Entonces:
| an - 1/3 | < 1/500 <=> 1/3 - 1/500 < an < 1/3 + 1/500
<=> 497/4500 < (1/10) + (1/10²) + ... + (1/10ⁿ) < 503/4500
<=> 497/450 < 1 + (1/10) + ... + (1/10^n-1) < 503/450
<=> 497/450 < 10/9 ( 1 - (1/10)ⁿ ) < 503/450
<=> 497/500 < 1 - (1/10)ⁿ < 503/500
<=> -3/500 < - (1/10)ⁿ < 3/500 pero an > 0 para todo n.
<=> 3/500 > (1/10)ⁿ > 0 (log es función monótona creciente)
<=> log(3/500) > nlog(1/10)
<=> - log(3/500) < n => n ⥠3 = no
Veamos si n = 3 entonces a(n = 3 ) = 0.333 = 333/1000
1/3 - 1/500 = 497/1500 y an > 497/1500
1/3 + 1/500 = 503/1500 y an < 503/1500
Saludos... lo último lo hice sin muchos detalles pero espero te ayude.
O me gane un pulgar haciabajo
, estoy desilusionado XD
los temidos pulgares...
De hecho, n no sale en ningún sitio, asà que lo que podrÃas probar es que, efectivamente, 0,33333...= 1/3:
Decimos N= 0.3333333333...
luego 10N= 3.3333333333...
restando en las dos bandas obtenemos que:
9N = 3 (que los decimales se van restando uno a uno)
entonves N = 3/9 = 1/3,
entonces el lÃmite ya está probado.
Con esta misma demostración, intenta ver que 0.999999....=1
curioso, no?
Y eso de los miembros que pertenecen a un intervalo no sé lo que es, disculpa
Suerte!