¿como demostrar este limite?

elena-s

lim 0,333...3=1/3

(n→∝)

y luego encontrar los miembros que pertenecen en el intervalo (1/3-1/500; 1/3+1/500)

anonymous

0.333333..... = 3*10^{-1} + 3* 10^{-2} + 3*10^{-3} + ..... = 3 SUMATORIA 10^n .

yop-x

Es una buena idea la que te dá Sergio...

Obtengamos unos pequeños resultados:

Pr.1)

( 1 - r )( 1 + r + r² + r³ + ... + rⁿ ) = 1 - r^(n + 1)

Esq Dem: ( 1 - r )( 1 + r + r² + r³ + ... + rⁿ ) = ( 1 + r + r² + r³ + ... + rⁿ ) - (r + r² + r³ + ... + r^n+1 ) = 1 - r^(n + 1)

Entonces podemos usar dicho resultado para obtener:

Pr. 2)

1 + (1/10) + (1/10²) + ... + (1/10ⁿ) = [ 1 - (1/10)^(n+1) ] / (1 - (1/10))

es decir que:

1 + (1/10) + (1/10²) + ... + (1/10ⁿ) = (10/9)[ 1 - 1/10^(n+1) ]

Observa que:

1 + (1/10) + (1/10²) + ... + (1/10ⁿ) = 1.11111... o sea hay "n" unos tras el punto decimal

Entonces:

Pr. 3)

lim (n → ∞) {1 + (1/10) + (1/10²) + ... + (1/10ⁿ) }

= lim (n → ∞) { (10/9)[ 1 - 1/10^(n+1) ] }

= (10/9)lim (n → ∞) {[ 1 - 1/10^(n+1) ] } = 10/9

Y como consecuencia:

Pr. 4)

lim (n → ∞) {(1/10) + (1/10²) + ... + (1/10ⁿ) } si factorizamos por (1/10)

= (1/10) lim (n → ∞) {1 + (1/10) + (1/10²) + ... + (1/10ⁿ) }

= (1/10)(10/9) = 1/9

Ahora podemos escribir que:

an = [0.3333333..] con "n" treses despuès del punto decimal ( hay una cadena de 3 despuès del punto decimal "hasta la posición n-ésima" )

0.33333.. = 3 (0.11111..) = 3[ (1/10) + (1/10²) + ... + (1/10ⁿ) ]

En consecuencia:

lim (n → ∞) { an } = 3 lim (n → ∞) {(1/10) + (1/10²) + ... + (1/10ⁿ) }

= 3(1/9) = 1/3 donde se usa el resultado anterior (Pr. 4).

Amiga para que determines los elementos que están en el intervalo debemos recurrir a la definición de límite para suceciones convergentes al real L.

Para todo ε > 0 existe un natural no tal que para todo n ≥ no entonces an e (L - ε, L + ε).

Apliquemos esto a lo que nos piden:

Tenemos que L = 1/3 entonces podemos escoger ε = 1/500.

Dijimos que an se podía escribir como:

an = 3{(1/10) + (1/10²) + ... + (1/10ⁿ) }

Entonces:

| an - 1/3 | < 1/500 <=> 1/3 - 1/500 < an < 1/3 + 1/500

<=> 497/4500 < (1/10) + (1/10²) + ... + (1/10ⁿ) < 503/4500

<=> 497/450 < 1 + (1/10) + ... + (1/10^n-1) < 503/450

<=> 497/450 < 10/9 ( 1 - (1/10)ⁿ ) < 503/450

<=> 497/500 < 1 - (1/10)ⁿ < 503/500

<=> -3/500 < - (1/10)ⁿ < 3/500 pero an > 0 para todo n.

<=> 3/500 > (1/10)ⁿ > 0 (log es función monótona creciente)

<=> log(3/500) > nlog(1/10)

<=> - log(3/500) < n => n ≥ 3 = no

Veamos si n = 3 entonces a(n = 3 ) = 0.333 = 333/1000

1/3 - 1/500 = 497/1500 y an > 497/1500

1/3 + 1/500 = 503/1500 y an < 503/1500

Saludos... lo último lo hice sin muchos detalles pero espero te ayude.

O me gane un pulgar haciabajo , estoy desilusionado XD

los temidos pulgares...

daikiri

De hecho, n no sale en ningún sitio, así que lo que podrías probar es que, efectivamente, 0,33333...= 1/3:

Decimos N= 0.3333333333...

luego 10N= 3.3333333333...

restando en las dos bandas obtenemos que:

9N = 3 (que los decimales se van restando uno a uno)

entonves N = 3/9 = 1/3,

entonces el límite ya está probado.

Con esta misma demostración, intenta ver que 0.999999....=1

curioso, no?

Y eso de los miembros que pertenecen a un intervalo no sé lo que es, disculpa

Suerte!