derivadas recta tangente?
hola quiciera verificar si esta bien este ejercicio
sea f(x) = x^(lnx) demostrar qque la recta tangente de f en (1,1) es horizontal.
yo hice lo siguiente:
sea u = lnx
f'(x) = u x^(u-1) . u'
f'(x) = lnx . (1/x) . x^(lnx-1)
f'(x) =ln1 . 1 . 1^(ln1 -1)
= 0 . 1 . 1^(0-1)
= 0.1.1/1 = 0
0 es la pendiente de la recta tangente como la pendiente es o en x =1
muchas gracias por su respuesta
Comments
Antes de hacer tu caso seria interesantre que revises tus formulas
Funcion potencia
y = uⁿ → y' = n uⁿֿ¹ u' ..... ( u variable, n constante)
Funcion exponencial
y = a^u → y' = a^u ln(a) .... (u variable , a constante)
Funcion potencial exponencial
y = u^v → y' = u^v [ v ln u ]' = u^v [ v' ln u + v u'/u ] ....
(con "u" variable , "v" variable)
esta formula sale de tomar logaritmos y luego derivar
Si y = u^v
Ln y = Ln u^v
Ln y = v Ln u
derivando
y'/y = [v Ln u] '
y' = y [v Ln u] '
y' = u^v [v Ln u] '
si derivamos el parentesis
y' = u^v [ v' Ln u + v u'/u ]
En tu caso f es una funcion potencial exponencial
f(x) = x^(Ln x)
Derivando aplicando la formula anterior
y = u^v → y' = u^v [ v ln u ]'
tenemos
f '(x) = x^(Ln x) [ Ln x . Ln x ]'
f '(x) = x^(Ln x) [ ( Ln x )² ]'
f '(x) = x^(Ln x) [ 2 ( Ln x ) (Ln x)' ]
f '(x) = x^(Ln x) [ 2 ( Ln x ) (x'/x) ]
f '(x) = x^(Ln x) [ 2 ( Ln x ) (1/x) ]
f '(x) = 2 (Ln x) x^(Ln x -1)
la pendiente en el punto (1,1)
m = f '(1) = 2 (Ln 1) 1^(Ln1 -1) = 2(0) 1^(0-1) = 2(0)(1) = 0
Como la pendiente es igual a 0 la recta tangente es horizontal: y = 1
En tu procedimiento la "casualidad" hace que la pendiente tambien te salga 0, pero tu derivada esta mal expresada.
ademas pusiste x=1 que es recta vertical ( esa es la recta normal a la curva en este caso)
Saludos, el procedimiento es adecuado, solo que la recta no es x = 1 sino y = 1, es una recta horizontal.
Con la recta "punto-pendiente" tengo:
f'(x) = 0 y tengo (1,1)
y-1 = 0(x-1)
y-1=0
Por lo tanto: y = 1