Sistemas de equações lineares (UNICAMP)?
Desenvolvam a resposta:
OBs: Peguei a prova comentada na UNICAMP do ano de 2005 (http://www.convest.unicamp.br/vest_anteriores/2005... questão número 11 porém não consigo entender de forma alguma como foi resolvido, se alguém puder dar uma explicada melhor e bem detalhada fico agradecido.
Dado o sistema linear homogêneo:
{[cos(alpha) +sen(alpha)]x + [2sen(alfha)]y = 0; [cos(alpha)]x + [cos(alpha) - sen(alpha)]y =0}
a) Encontre os valores de (alpha) para os quais esse sistema admite solução não-trivial, isto é, solução diferente da solução x = y = 0.
b) Para o valor de (alpha) encontrado no item (a) que está no intervalo [0, pi/2], encontre uma solução não-trivial do sistema.
Comments
Esse sistema admite a resposta "óbvia" x=0 e y=0
para admitir mais de uma solução, precisa admitir infinitas e isso só vai ocorrer se a matriz dos coeficientes não for inversível (se for inversível dá para achar a resposta única x=y=0)
Para não ser inversível, o determinante PRECISA ser zero.
tal determinante será: (cos alpha + sen alpha)(cos alpha - sen alpha) - 2sen alpha*cos alpha
= cos²alpha - sen² alpha - 2sen alpha cos alpha
Usando as fórmulas de arco duplo (dobro angular pela Wikipedia):
Sen 2A = 2*sen A*cos A
Cos 2A = cos²A* - sen²A
= cos (2 alpha) - sen (2 alpha) = 0
ou seja cos (2 alpha) = sen (2 alpha)
isso só ocorre se 2 alpha = pi/4 + k*pi (45º + k*180º)
ou alpha = pi/8 + k*pi/2
b) o valor de alpha deve ser pi/8
a solução trivial ocorre de darmos valores para x (ou y) e acharmos o y (ou o x). O triste é que não pode ser zero, senão caímos na solução trivial.
Isolemos o x na segunda antes:
x = (sen alpha - cos alpha)y/cos alpha
x = y*(tg pi/8 - 1)
y = 1 e x = tg pi/8 - 1 é solução não trivial do sistema
a) Sistema homogeneo --> Admite solucao nao trivial se e solo se rango(matriz coeficiente)<n=2 T.Rouché-Frobenius
<--> det(A)=0 <--> cos^2(α) - sen^2(α) - 2·senα·cosα=0
<--> cos(2α)-sen(2α)=0 <--> sen(2α)=cos(2α) <-->
tan(2α)=1 <--> 2α=45º+ 180º·k com k em Z <-->
α=45º/2 + 90º·k com k em Z
Em radianes <--> α= pi/ 8 + pi/4· k com k em Z
b) Se α=pi/8 --> [cos(α)+sen(α)]x + 2·sen(α) y =0 -->
y= - [cos(α)+sen(α)] / [2·sen(α)] x = - [1+tanα]/[2·tanα] x
tan[45º/2]= [1-cos(45º)]/ sen45º
--> y= - 1/(2-â2) x --> x= (â2-2) y -->
Uma solucao é x=â2-2 y=1
Saludos.