Alguem pode me falar o conceito e exemplos deposição relativa de duas circunferencias?
gostaria do conceito da posição relativa de duas circunferencias...
de circunferencias externas
circunferencias internas
circunferencias concetricas
circuferencias secantes
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espero k tires o maximo proveito...( [email protected])
Estudo da Circunferência
· Definição: É o conjunto de pontos em um plano que eqüidistam de um ponto fixo. Exemplo: Anel, Bambolê,...
· Características:
- Ponto Central e Raio; CP = r
· Equação Reduzida da Circunferência:
(x-a)2 + (y-b)2 = r2
Se o centro da circunferência coincidir com a origem, temos: x2 + y2= r2
· Equação Geral de Circunferência:
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
· Identificação de uma Circunferência:
- Para identificar se existe, ela deve possuir raio e um ponto Central;
- Para fazer isso apenas compare a equação genérica Reduzida ou Geral com a dada. Na geral basta dividir o coeficiente do x por -2a , e o do y por -2b .
- Para achar o raio: a2 + b2 = r2
Posições Relativas entre Ponto e Circunferência
· Externo:
d > r ;
d - r > 0
· Interno:
d < r
d - r < 0
· Pertence a Circunferência:
d = r
d - r = 0
Posições entre Reta e Circunferência
· Tangente:
d = r
· Secante:
d < r
· Externo:
d > r
· Para resolver exercícios basta fazer um sistema (não linear) entra as equações da reta e da circunferência, que vai resultar em uma parábola onde: (A = delta)
- A > 0 : Secante ( 2 pontos comuns )
- A = 0 : Tangente ( 1 ponto comum )
- A < 0 : Externo ( nenhum ponto comum )
Posições Relativas Entre duas Circunferências
· Não se interceptam: (d = distância entre os Centros)
o Externamente:
d > r1 + r2
o Internamente:
d < |r1 - r2|
· São Tangentes:
o Externamente:
d = r1 + r2
o Internamente:
d = |r1 - r2|
· São Secantes:
|r1 - r2| < d < r1 + r2
· Caso particular: Concêntricas:
d = 0
Exemplos:
1) Dada o equação reduzida de uma circunferência (x – 1)2 + (y + 4)2 = 9, dizer qual a origem e o raio da circunferência:
Resolução: Basta compararmos a equação dada com a equação genérica reduzida de uma circunferência:
x0 = 1
y0 = -4
r2 = 9 Þ r = 3
Resposta: Assim a origem está no ponto (1, -4) e ela possui um raio de 3.
2) Para a circunferência de equação x2 + y2 - 6x – 2y +6 = 0, observar posição relativa dos seguintes pontos
a) P(2, 1)
b) Q(5, 1)
c) R(6, 2)
Resoluções:
a) 22 + 12 – 6.2 – 2.1 +6 = -3 <0
P é interno à circunferência
b) 52 + 12 – 6.5 – 2.1 +6 = 0
Q Percente à circunferência
c) 62 + 22 – 6.6 – 2.2 +6 = 6>0
R é externo à circunferência
Obs.: o modo utilizado é bastante prático, mas é preciso ter certeza que a equação trata-se se uma circunferência antes de usa-lo.
3) Examinar a posição relativa entre a reta r: 2x + y – 2 = 0 e a circunferência l: (x – 1)2 + (y – 5)2 = 5
Resolução: Procuraremos as eventuais interseções entre elas, isolando o y da reta e jogando na equação da circunferência teremos:
y = 2 – 2x
x2 + (2 – 2x)2 – 2x – 10 . (2 – 2x) + 21 =0
x2 + 2x +1 =0
Nesta equação temos discriminante (delta) nulo e única solução x = -1, o que leva a um único y, que é 4, assim a reta tangencia a circunferência.
4) Obter as equações das tangentes à circunferência l: x2 + y2 = 9, que sejam paralelas à reta s: 2x + y – 1 = 0
Resolução: Nestes casos é aconselhável que a equação da reta esteja, como de fato está, na sua forma geral, pois as tangentes t, sendo paralelas a s, manterão o coeficiente angular e poderemos escrever suas equações como 2x + y + c = 0 , bastando, então, encontrar os valores de c:
As tangentes distam r = 3 do centro (0,0):
dC,t = |c|/Ö5 = 3
c =± 3Ö5
Portanto t1 : 2x + y + 3Ö5 = 0 e t2 : 2x + y - 3Ö5= 0
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