Como é a resolução desse problema de PG (matemática)?
Qual o valor da expressão 1 + 1/x + 1/x² + ... Dividido por 1/x³ + 1/ x elevado a 5 + 1/x elevado a 7 + ....
Na qual o numerador e o denominador são somas de duas PG infinitas nas quais \ 1/x / < 1 ?
(P.s : Resposta : x³ + x² )
Lembrando que preciso da RESOLUÇÃO por favorrr!!
Obrigada
=D
Beijos*
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Atenção para duas dicas:
* Fórmula para calcular a soma dos termos de uma Progressão Geométrica (PG) Infinita
S∞ = a1 / 1 - q
Usaremos mais adiante...
* Divisão por fração: repete o numerador e multiplica pelo inverso do denominador...
a / (b/c) = a . (c / b) = a.c / b
Usaremos com frequência isso...
Começando...
numerador: 1 + 1/x + 1/x² + ...
a1 = 1; q = 1/x
Soma da PG infinita
S'∞ = (1) / (1 - 1/x)
S'∞ = (1) / ( (x-1) / x)
S'∞ = (1) . ( x / (x-1) ) **Lembre-se da divisão por fração
S'∞ = x / x-1
no denominador: 1/x^3 + 1/x^5 + 1/x^7 + ...
a1 = 1/x³; q =1/x²
Soma da PG infinita
S''∞ = (1/x³) / (1 - 1/x²)
S''∞ = (1/x³) / (x²-1 / x²)
S''∞ = (1 / x³) . (x² / x²-1) **Lembre-se da divisão por fração
S''∞ = (x²).(1) / (x³).(x²-1)
S''∞ = (x²) / (x³).(x²-1)
para simplificar esta expressão, dividimos tudo por x²
S''∞ = (x²/x²) / (x³/x²).(x²-1)
S''∞ = 1 / (x).(x²-1)
Neste momento você estabelece a divisão entre S'∞ e S''∞
S'∞ / S''∞ =
_(x / x - 1)_
(1 / x.(x²-1))
Novamente, lembre-se da divisão por fração...
(x) . (x) . (x²-1)
¯¯¯(x-1) . (1)¯¯ =
(x²).(x²-1)
¯¯(x - 1)¯¯
x² - 1 é um produto notável (produto da soma pela diferença)
logo, x² - 1 = (x+1).(x-1)
(x²).(x+1).(x-1)
¯¯¯¯(x-1)¯¯¯¯
Finalmente eliminamos denominador e numerador (x -1) e teremos:
(x).(x).(x+1) = (x²).(x+1) = x³ + x²