O conceito de proj u (v), representa a projeção de v no vetor u, que é um vetor na mesma direção do vetor u, só que com valor algébrico |v| cos θ, porque cos θ é definido como a relação entre cateto adjascente e hipotenusa.
Para se obter essa projeção é preciso saber calcular o produto escalar e o módulo.
Se u e v são da forma (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2), o produto escalar é calculado por x1x2 + y1y2 + z1z2
O produto escalar de u e v corresponde ao valor algébrico de |u||v|cosθ, ou seja, mede o quanto os 2 vetores são paralelos entre si.
Já |u| representa o módulo de u, isto é, seu valor algébrico, que pode ser calculado por
|u| = raiz(x1² + y1² + z1²)
Sendo assim o valor algébrico de proj u (v) é u.v / |u|. A projeção em si tem esse valor, só que na direção de u.
O vetor unitário na direção de u pode ser representado por
Unit (u) = u / |u|
Portanto
proj u (v) = ( u.v / |u| ) u / |u| = ( u.v / |u|² ) u
u*v = 3*-2 + 0*1 + 2*1 = -4
|u|² = 3² + 1²
proj u(v) = -4/10 (3, 0, 1 ) = (-6/5,0,-4/10)
Também
proj v (u) = ( u.v / |v|² ) v
|v|² = (-2)² + 1² +2² = 9
proj v(u) = -4/9 (-2,1, 2 ) = (8;/9,-4/9,-8/9)
Resposta: proj u(v) = (-6/5,0,-4/10) e proj v(u) = (8;/9,-4/9,-8/9)
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O conceito de proj u (v), representa a projeção de v no vetor u, que é um vetor na mesma direção do vetor u, só que com valor algébrico |v| cos θ, porque cos θ é definido como a relação entre cateto adjascente e hipotenusa.
Para se obter essa projeção é preciso saber calcular o produto escalar e o módulo.
Se u e v são da forma (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2), o produto escalar é calculado por x1x2 + y1y2 + z1z2
O produto escalar de u e v corresponde ao valor algébrico de |u||v|cosθ, ou seja, mede o quanto os 2 vetores são paralelos entre si.
Já |u| representa o módulo de u, isto é, seu valor algébrico, que pode ser calculado por
|u| = raiz(x1² + y1² + z1²)
Sendo assim o valor algébrico de proj u (v) é u.v / |u|. A projeção em si tem esse valor, só que na direção de u.
O vetor unitário na direção de u pode ser representado por
Unit (u) = u / |u|
Portanto
proj u (v) = ( u.v / |u| ) u / |u| = ( u.v / |u|² ) u
u*v = 3*-2 + 0*1 + 2*1 = -4
|u|² = 3² + 1²
proj u(v) = -4/10 (3, 0, 1 ) = (-6/5,0,-4/10)
Também
proj v (u) = ( u.v / |v|² ) v
|v|² = (-2)² + 1² +2² = 9
proj v(u) = -4/9 (-2,1, 2 ) = (8;/9,-4/9,-8/9)
Resposta: proj u(v) = (-6/5,0,-4/10) e proj v(u) = (8;/9,-4/9,-8/9)