COMO CALCULAR INTEGRAIS?
Aplicando o Método da Integração por Partes:
A) ∫ x.ln x
∫ x.cos x
C) ∫ x³. e^x²
D) ∫ x². e^x
E) ∫ e^x. cosx
F) ∫ e^x. senx
G) ∫ x³. e^3x
H) ∫ x. sec x. tg x
I) ∫ ln x
J) ∫x. cos 2x
Aplicando o Método da Integração por Partes:
A) ∫ x.ln x
∫ x.cos x
C) ∫ x³. e^x²
D) ∫ x². e^x
E) ∫ e^x. cosx
F) ∫ e^x. senx
G) ∫ x³. e^3x
H) ∫ x. sec x. tg x
I) ∫ ln x
J) ∫x. cos 2x
Comments
Use a fórmula ∫ u dv = u.v - ∫ v du
Onde u e v, no caso, são funções de x, sendo du e dv suas diferenciais. Ou seja, a fórmula acima exige que vc determine esses quatro parâmetros: u, v, du e dv.
Vc pode interpretar, por exemplo ∫ u dv como sendo a integral do produto de uma função u pela diferencial da função v.
Use uma tabela de derivadas e integrais.
a) ∫ x.ln x dx
No item a, por exemplo, você precisa definir que parte da expressão dentro da integral vai ser a função u e que parte vai ser a diferencial da função v.
Para isso, reorganize a expressão dentro da integral: ∫ x . ln x dx = ∫ ln x . xdx
Então, faça u = ln x e dv = xdx
Agora, com uma tabela de derivadas, determine a derivada da função u = ln x: du/dx = 1/x
Na relação acima isole du: du = dx/x (isso será usado depois na segunda integral da fórmula que mostrei no começo)
Use a diferencial dv = xdx para encontrar a função v (isso é feito por integração e com o auxílio de uma tabela de integrais): ∫ dv = ∫ xdx = x²/2
Portanto, v = x²/2
Agora resolva a segunda integral (∫ v du) da fórmula que mostrei no início, substituindo dentro dessa integral a função v = x²/2 encontrada e du = dx/x, que havia sido previamente determinado:
∫ v du = ∫ x²/2 dx/x
Extraindo o coeficiente 1/2 da integral acima e dividindo x² por x, tem-se: 1/2 . ∫ x dx = 1/2 . x²/2 = x²/4
Ou seja, ∫ v du = x²/4
Agora é só reunir os parâmetros exigidos pela fórmula, u.v = lnx . x²/2 e ∫ v du = x²/4, e apresentá-los como resultado de ∫ x.ln x:
∫ x.ln x = lnx . x²/2 - x²/4 + C # (o C é uma constante qualquer)
Para saber se o resultado acima está correto, calcule a derivada de lnx . x²/2 - x²/4. Você deverá obter exatamente a expressão que está dentro da integral, ou seja, x.ln x.
Os demais exercícios são resolvidos de maneira similar e vc mesma pode determinar se fez certo ou não, é só verificar do jeito como eu disse acima.
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