Se R é a região sob a curva y=1/(1+e^x ) acima do eixo X e no primeiro quadrante, ache:?
Se R é a região sob a curva y=1/(1+e^x ) acima do eixo X e no primeiro quadrante, ache:
(a) A área de R;
(b) O volume do sólido de revolução obtido pela rotação de R em torno do eixo X.
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a)
Ora, se y=1/(1 + e^x ), então a área de R pode ser calculada por:
∫y(x)dx = ∫dx/(1 + e^x ) = x - ln(1+e^x)
b)
Se y(x) fosse constante (y(x) = c para todo x), o volume do sólido gerado pela sua rotação (num dado intervalo de x, x E [a,b]) seria de:
V = πc²(b - a),
mas como y(x) não é constante, vamos dividir y(x) em sub-intervalos de tal maneira que poderemos aproximar y(x) por uma função constante, então o volume será aproximadamente de:
V ≈ ∑π[y(xi)]², onde cada xi pertence a um desses sub-intervalos.
fazendo i >>∞, temos que:
V = ∫π[y(x)]²dx = π∫[y(x)]²dx
Como y(x) = 1/(1 + e^x ), então:
V = π∫[1/(1 + e^x )]²dx = π[x - ln(1 + e^x) + 1/(1 + e^x )]