Otro desafío aritmético?
Demuestre que el producto de n números naturales consecutivos es divisible por n!
(Por ejemplo, 7*8*9*10 es divisible por 4! = 24.)
Demuestre que el producto de n números naturales consecutivos es divisible por n!
(Por ejemplo, 7*8*9*10 es divisible por 4! = 24.)
Comments
Los n números consecutivos son a+1, a+2,... a+n. El producto de ellos utilizando factoriales es
(a+n)!/a!
Hay que demostrar que n! divide a eso, pero (a+n)!/(a!*n!) es un coeficiente binomial y por ende un entero entonces (a+n)!/a! es divisible por n!
q.e.p.d.
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Aquí va otra respuesta, por inducción.
Sea S(k,n) = k(k+1)...(k+n-1), se hará inducción dos veces, sobre n y sobre k.
tenemos que 2!=2 divide a S(k,2)=k(k+1) ya que alguno entre k y k+1 es par.
Supongamos que para un n>2 (n-1)! | S(k,n-1) para todo k.
n! | S(1,n)=n!. Ahora suponga que n! | S(k,n). Note que
S(k+1,n) = S(k,n)*(n+k)/k = S(k,n)+S(k,n)*n/k, ya tenemos que
n! | S(k,n) por hipótesis de inducción, falta verificar que n! | S(k,n)*n/k, pero esto equivale a decir que
(n-1)! | S(k,n)/k
pero S(k,n)/k es (k+1)(k+2)..(k+n-1) es el producto de n-1 naturales consecutivos es divisible por (n-1)! debido a la primera hipótesis de inducción q.e.d.
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Estoy seguro de que hay otra solución usando el hecho de que en n enteros consecutivos hay al menos [n/a] divisibles por a, donde [x] significa parte entera de x, y además si 1<a,b<n y a*b<n entonces [n/a] > [n/(a*b)] > ([n/a]+1)/b pero me ha sido evasiva.
Respuesta1
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Puede observarse que se trata de calcular el número combinatorio C(k,n) siendo k el último de los números consecutivos. Los números combinatorios siempre son enteros.
Respuesta2
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Aunque lo que sigue pueda no tener forma de demostración el razonamiento es el siguiente:
P = T0 * T1 * T2 * T3* ...*Tn-2*Tn-1
SEA P el producto de n términos nombrados desde
Tsub_cero a Tsub_n-1
a . . .SEA un número Natural
a <= Ti <= (a+n-1) para 0<=i<=n-1
P es el producto de n naturales consecutivos
Siempre es posibles escribir
a = k.n + r cumpliéndose 0<=r<=(n-1)
a mod n = r; Donde el operador mod denota la operación resto de la división entera.
(a + r) mod n = 0
El término Ti (para i=r) será múltiplo de n;
No considerando ahora el último término, podemos repetir el razonamiento anterior para demostrar que
siendo H = T0 * T1 * T2 *T3* ...*Tn-2
se tiene que H es múltiplo de n-1
De momento esto probará que P es divisible por todo número natural menor o igual que n.
Sin embargo, todavÃa queda por demostrar que P es divisible por el producto n!
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