¿Como puedo resolver x^2y'+x(x+2)y=e^x?

ricardo-moreira

El enunciado dice halle la solución de la ecuación diferencial dada.

norberto-out-of-yr

x^2y'+x(x+2)y=e^x

Es una ED lineal, por lo que primeramente dejo sola a y ', dividiendo todo por x^2:

y ' + (x+2)y/x = e^x / x^2

Q(x) = (x+2)/x

µ = e^ ∫ [(x+2)/x]dx; integro:

µ = e^ (x + 2lnx);

µ = e^x * e^ln(x^2)

µ = x^2*e^x;

dyx^2*e^x / dx = (e^x / x^2)(x^2*e^x);

dyx^2*e^x = e^2x*dx; integro ambos lados:

A la derecha: u=2x; du=2dx; dx=du/2

(1/2) ∫ e^u * du;

(1/2) e^u + C

(1/2) e^2x + C

yx^2*e^x = e^2x + C

y = x^(-2)* e^x + [C/(x^2*e^x)]