Sea el grupo (R^2, +) sea T:R^2-->R^2 definida por T(x,y)=( x-y ; x+y ) probar que es homomorfismo y hallar el nucleo
R es reales!...
muchas gracias!
1)
Es trivialmente aplicación, por ser + operación interna en R.
2)
Es homomorfismo:
T((x,y)+(x’,y’)) = T( x + x’, y + y’) = ( x + x’ – y – y’, x + x’ + y + y’) = ( x-y + x’ – y’, x + y + x’ + y’) =( x-y, x + y ) + ( x’-y’, x’ + y’ ) = T(x,y)+ T(x’,y’)
El núcleo, ker(T), son los pares (x, y) que se transforman en (0, 0). Es decir
T(x, y) = (0, 0)
( x-y, x+y ) = (0, 0)
x- y = 0
x + y =0
2x = 0, x = 0, y = 0
Luego ker(T) = {(0, 0)}
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1)
Es trivialmente aplicación, por ser + operación interna en R.
2)
Es homomorfismo:
T((x,y)+(x’,y’)) = T( x + x’, y + y’) = ( x + x’ – y – y’, x + x’ + y + y’) = ( x-y + x’ – y’, x + y + x’ + y’) =( x-y, x + y ) + ( x’-y’, x’ + y’ ) = T(x,y)+ T(x’,y’)
El núcleo, ker(T), son los pares (x, y) que se transforman en (0, 0). Es decir
T(x, y) = (0, 0)
( x-y, x+y ) = (0, 0)
x- y = 0
x + y =0
2x = 0, x = 0, y = 0
Luego ker(T) = {(0, 0)}