Cscx+Cotx=5
hallar Csc x
Hola!!!
Bueno, como nos piden Csc x, primero hay que hallar x resolviendo la ecuación inicial, y luego hallar Csc x, entonces...
La ecuación a resolver es
Csc x + Cot x = 5
Primero definire algunas identidades trigonométricas útiles para resolver esta ecuación
Csc x = 1/(Sen x) ---------> Identidad (1)
Cot x = (Cos x)/(Sen x) ---> Identidad (2)
Sen² x = (1 - Cos (2x))/2 ----> Identidad (3)
Cos² x = (1 + Cos (2x))/2 ----> Identidad (4)
Cos (2x) = Cos² x - Sen² x ----> Identidad (5)
Sen² x = 1 - Cos² x ----> Identidad (6)
Ahora, aplicando las identidades (1) y (2), tenemos que
1/(Sen x) + (Cos x)/(Sen x) = 5
Reduciendo...
(1 + Cos x)/(Sen x) = 5
Elevando ambas partes de la ecuacion al cuadrado
((1 + Cos x)/(Sen x))² = 5²
((1 + Cos x)²)/(Sen² x) = 25
Multiplicando ambas partes de la ecuacion por (Sen² x) tenemos
((1 + Cos x)²) = 25(Sen² x)
Desarrollando (1 + Cos x)² con la identidad (a+b)² = a² + 2ab + b² tenemos...
1² + 2(1)(Cos x) + (Cos x)² = 25(Sen² x)
1 + 2(Cos x) + Cos² x = 25(Sen² x)
Aplicando la identidad (3), tenemos ...
1 + 2(Cos x) + Cos² x = 25((1 - Cos (2x))/2)
Desarrollando....
1 + 2(Cos x) + Cos² x = (25 - 25(Cos(2x)))/2
Multiplicando ambas partes de la ecuacion por 2 tenemos
2(1 + 2(Cos x) + Cos² x) = 2((25 - 25(Cos(2x)))/2)
Desarrollando
2 + 4(Cos(x)) + 2(Cos² x) = 25 - 25(Cos(2x))
Simplificando:
2(Cos² x) + 4(Cos(x)) + 2 = 25 - 25(Cos(2x))
2(Cos² x) + 4(Cos(x)) = 23 - 25(Cos(2x))
2(Cos² x) + 4(Cos(x)) + 25(Cos(2x)) = 23
Aplicando la identidad (4) tenemos...
2((1 + Cos (2x))/2) + 4(Cos(x)) + 25(Cos(2x)) = 23
Desarrollando...
2(1 + Cos (2x))/2 + 4(Cos(x)) + 25(Cos(2x)) = 23
1 + Cos (2x) + 4(Cos(x)) + 25(Cos(2x)) = 23
Simplificando...
Cos (2x) + 4(Cos(x)) + 25(Cos(2x)) = 22
4(Cos(x)) + 26(Cos(2x)) = 22
Aplicando la identidad (5) tenemos....
4(Cos(x)) + 26(Cos² x - Sen² x) = 22
4(Cos(x)) + 26(Cos² x) - 26(Sen² x) = 22
Aplicando la identidad (6) tenemos...
4(Cos(x)) + 26(Cos² x) - 26(1 - Cos² x) = 22
4(Cos(x)) + 26(Cos² x) - 26 + 26(Cos² x) = 22
4(Cos(x)) + 26(Cos² x) + 26(Cos² x) = 48
4(Cos(x)) + 52(Cos² x) = 48
52(Cos² x) + 4(Cos(x)) - 48 = 0
Factorizando
4(13(Cos x) -12)(Cos x +1)= 0
Igualando cada factor a 0
(Cos x +1) = 0
Cos x = -1
x = Arccos -1
▌x = 180 ▐
(13(Cos x) -12) = 0
(13(Cos x) = 12
Cos x = 12/13
x = Arccos (12/13)
▌x = 22.619▐
Al sustituir las soluciones en la ecuacion original, solo 22.619 la satisface
Entonces, la unica solucion de la ecuacion
Es x = 22.619.
Y como al principio se nos pide Csc x, tenemos que
Csc x =
Csc (Arccos (12/13)) =
13/5.
Csc x = █ 2.6 █
Ese es el valor pedido.
Espero haberte ayudado!!!
Suerte!!!!
es mas facil si solo trabajas con seno y coseno pasalos y asi la resuelves mas facil
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Hola!!!
Bueno, como nos piden Csc x, primero hay que hallar x resolviendo la ecuación inicial, y luego hallar Csc x, entonces...
La ecuación a resolver es
Csc x + Cot x = 5
Primero definire algunas identidades trigonométricas útiles para resolver esta ecuación
Csc x = 1/(Sen x) ---------> Identidad (1)
Cot x = (Cos x)/(Sen x) ---> Identidad (2)
Sen² x = (1 - Cos (2x))/2 ----> Identidad (3)
Cos² x = (1 + Cos (2x))/2 ----> Identidad (4)
Cos (2x) = Cos² x - Sen² x ----> Identidad (5)
Sen² x = 1 - Cos² x ----> Identidad (6)
Ahora, aplicando las identidades (1) y (2), tenemos que
Csc x + Cot x = 5
1/(Sen x) + (Cos x)/(Sen x) = 5
Reduciendo...
1/(Sen x) + (Cos x)/(Sen x) = 5
(1 + Cos x)/(Sen x) = 5
Elevando ambas partes de la ecuacion al cuadrado
(1 + Cos x)/(Sen x) = 5
((1 + Cos x)/(Sen x))² = 5²
((1 + Cos x)²)/(Sen² x) = 25
Multiplicando ambas partes de la ecuacion por (Sen² x) tenemos
((1 + Cos x)²)/(Sen² x) = 25
((1 + Cos x)²) = 25(Sen² x)
Desarrollando (1 + Cos x)² con la identidad (a+b)² = a² + 2ab + b² tenemos...
((1 + Cos x)²) = 25(Sen² x)
1² + 2(1)(Cos x) + (Cos x)² = 25(Sen² x)
1 + 2(Cos x) + Cos² x = 25(Sen² x)
Aplicando la identidad (3), tenemos ...
1 + 2(Cos x) + Cos² x = 25(Sen² x)
1 + 2(Cos x) + Cos² x = 25((1 - Cos (2x))/2)
Desarrollando....
1 + 2(Cos x) + Cos² x = 25((1 - Cos (2x))/2)
1 + 2(Cos x) + Cos² x = (25 - 25(Cos(2x)))/2
Multiplicando ambas partes de la ecuacion por 2 tenemos
1 + 2(Cos x) + Cos² x = (25 - 25(Cos(2x)))/2
2(1 + 2(Cos x) + Cos² x) = 2((25 - 25(Cos(2x)))/2)
Desarrollando
2(1 + 2(Cos x) + Cos² x) = 2((25 - 25(Cos(2x)))/2)
2 + 4(Cos(x)) + 2(Cos² x) = 25 - 25(Cos(2x))
Simplificando:
2(Cos² x) + 4(Cos(x)) + 2 = 25 - 25(Cos(2x))
2(Cos² x) + 4(Cos(x)) = 23 - 25(Cos(2x))
2(Cos² x) + 4(Cos(x)) + 25(Cos(2x)) = 23
Aplicando la identidad (4) tenemos...
2(Cos² x) + 4(Cos(x)) + 25(Cos(2x)) = 23
2((1 + Cos (2x))/2) + 4(Cos(x)) + 25(Cos(2x)) = 23
Desarrollando...
2((1 + Cos (2x))/2) + 4(Cos(x)) + 25(Cos(2x)) = 23
2(1 + Cos (2x))/2 + 4(Cos(x)) + 25(Cos(2x)) = 23
1 + Cos (2x) + 4(Cos(x)) + 25(Cos(2x)) = 23
Simplificando...
1 + Cos (2x) + 4(Cos(x)) + 25(Cos(2x)) = 23
Cos (2x) + 4(Cos(x)) + 25(Cos(2x)) = 22
4(Cos(x)) + 26(Cos(2x)) = 22
Aplicando la identidad (5) tenemos....
4(Cos(x)) + 26(Cos(2x)) = 22
4(Cos(x)) + 26(Cos² x - Sen² x) = 22
Desarrollando....
4(Cos(x)) + 26(Cos² x - Sen² x) = 22
4(Cos(x)) + 26(Cos² x) - 26(Sen² x) = 22
Aplicando la identidad (6) tenemos...
4(Cos(x)) + 26(Cos² x) - 26(Sen² x) = 22
4(Cos(x)) + 26(Cos² x) - 26(1 - Cos² x) = 22
Desarrollando...
4(Cos(x)) + 26(Cos² x) - 26(1 - Cos² x) = 22
4(Cos(x)) + 26(Cos² x) - 26 + 26(Cos² x) = 22
Simplificando...
4(Cos(x)) + 26(Cos² x) - 26 + 26(Cos² x) = 22
4(Cos(x)) + 26(Cos² x) + 26(Cos² x) = 48
4(Cos(x)) + 52(Cos² x) = 48
52(Cos² x) + 4(Cos(x)) - 48 = 0
Factorizando
52(Cos² x) + 4(Cos(x)) - 48 = 0
4(13(Cos x) -12)(Cos x +1)= 0
Igualando cada factor a 0
(Cos x +1) = 0
Cos x = -1
x = Arccos -1
▌x = 180 ▐
(13(Cos x) -12) = 0
(13(Cos x) = 12
Cos x = 12/13
x = Arccos (12/13)
▌x = 22.619▐
Al sustituir las soluciones en la ecuacion original, solo 22.619 la satisface
Entonces, la unica solucion de la ecuacion
Cscx+Cotx=5
Es x = 22.619.
Y como al principio se nos pide Csc x, tenemos que
Csc x =
Csc (Arccos (12/13)) =
13/5.
Csc x = █ 2.6 █
Ese es el valor pedido.
Espero haberte ayudado!!!
Suerte!!!!
es mas facil si solo trabajas con seno y coseno pasalos y asi la resuelves mas facil