Necesito un buen matematico Urgente, help Ayuda plis?
a)integral de sen(3x)cos (3x)dx evaluada con b=pi/2 a=0,
b)integral 2x (raiz cuadrada de 5+x^2)
c)integral de 2x/(1+5x^2)^4
d)integral mediante sustitucion trigonometrica de raiz cuadrada de 25-x^2/x
Comments
La primera solo tienes que trabajar un poco con ella completando la integral y ver que es de la forma vⁿ
π/2
· ∫ sen(3x)cos(3x) dx
0
Al completar la integral queda
π/2
⅓ ∫ 3sen(3x)cos(3x) dx
··· 0
Una vez completa la integral tomas la formula para integrar vⁿ para aplicando los limites después, la formula dice
∫vⁿ dv = [v^(n+1)]/[n+1] + c
Donde:
v = sen(3x)
dv = 3cos(3x) dx
Y como la integral es definida la c de constante no se pone
Aplicas la formula
∫vⁿ dv = [v^(n+1)]/[n+1] + c
⅓ ∫ 3sen(3x)cos(3x) dx = ⅓ { [sen(3x)^(1+1)] / [1+1] }
Simplificando el resultado
⅓ { [sen(3x)^(1+1)] / [1+1] }
⅓ { [sen(3x)^(2)] / [2] } = ⅓ [ sen²(3x)/2 ] = (⅓) (½) sen²(3x)
(⅓) (½) sen²(3x) = (1/6) sen²(3x) = sen²(3x)/6
Ahí tienes la integral ahora solo evalúas según los limites de integración
Como sabrás es la integral evaluada en el limite superior menos la integral evaluada en el limite inferior
[ sen²(3x)/6 ] - [ sen²(3x)/6 ]
[ sen²(3(π/2))/6 ] - [ sen²(3(0))/6 ]
[ sen²(3*π/2)/6 ] - [ sen²(0)/6 ]
[ (-1)²/6 ] - [ 0/6 ] = (1/6) - 0 = 1/6
Y ahí lo tienes la integral definida de la primera es
π/2
· ∫ sen(3x)cos(3x) dx = 1/6
0
∫ 2x √(5 + x²) dx
La integral esta completa y es de la forma vⁿ y la formula para integrar eso dice
∫ vⁿ dv = [v^(n+1)]/[n+1]
Donde:
v = 5 + x²
n = ½ que en otras palabras es la raíz
dv = 2x dx
Aplicas la formula
∫ vⁿ dv = [v^(n+1)]/[n+1] + c
∫ 2x √(5 + x²) dx = [(5 + x²)^(½ + 1)]/[½ + 1]
Simplificas el resultado
[(5 + x²)^(3/2)]/[3/2]
Esto para que lo veas mejor es
(5 + x²)^(3/2)
--------- ---------
···· ···· 3
···· ·· -----
···· ···· 2
Realizando la division y simplificando te queda
2(5 + x²)^(3/2)
---------- -----------
···· ··· 3
Y como esta no le veo que tenga limites de integración quiere decir que esta indefinida por lo que si lleva una c al final de constante
······· ······· ······· ······· 2(5 + x²)^(3/2)
∫ 2x √(5 + x²) dx = ----------- ----------- + c
······· ······· ······· ······· ····· 3
La tercera dices que es
····· ····· 2x
∫ --------- ----------
· (1 + 5x²)^(4)
Esta vuelve a ser de la forma vⁿ
lo que primero debes hacer es subir lo que tienes abajo esto lo consigues poniendo signo negativo al exponente
∫ 2x (1 + 5x²)^(-4)
Aunque es de la forma vⁿ y ya que la subiste debes de completar la integral esto lo haces lo haces multiplicando por 1/5 fuera de la integral y un 5 dentro de la integral
(1/5) ∫ (5) (2x) (1 + 5x²)^(-4) = (1/5) ∫ 10x (1 + 5x²)^(-4)
Ahora ya esta completa y como antes te repito la formula para integrales de la forma vⁿ
∫ vⁿ dv = [v^(n+1)]/[n+1] + c
Donde:
v = 1 + 5x²
n = -4
dv= 10x dx
Aplicas la formula
∫ vⁿ dv = [v^(n+1)]/[n+1] + c
(1/5) ∫ 10x (1 + 5x²)^(-4) = (1/5) { [(1+5x²)^(-4+1)]/[-4+1] } + c
Simplificas el resultado
(1/5) [ (1+5x²)^(-3)/(-3) ] + c
(1/5) (-⅓) (1+5x²)^(-3) + c = (-1/15) (1+5x²)^(-3) + c
Al verlo de otra forma tienes
····· (1+5x²)^(-3)
- · --------- --------- (la primer raya es de signo negativo "-")
······ ······ 15
Puedes dejarlo así o puedes bajar lo que esta arriba volviendo positivo su exponente
···· ···· ···· 1
- · ---------- -----------
····· 15 (1+5x²)^(3)
Y ahora si ese seria tu resultado
····· ····· 2x ····· ····· ····· ····· 1
∫ --------- ---------- = - · ---------- -----------
· (1 + 5x²)^(4) ····· ···· 15 (1+5x²)^(3)
Para la ultima jajaja hace tiempo que no hago una por ese método pero voy a hacerle el intento
Primero si no mal recuerdo tenias que poner atención a la forma de tu raiz
√(25 - x²)
En este caso es e la forma √(a² - v²) una vez que tienes eso te tienes que imaginar un triangulo con las siguientes características
Cateto Opuesto = v
Cateto Adyacente = √(a² - v²)
Hipotenusa = a
En tu caso
v = x
√(a² - v²) = √(25 - x²)
a = 5
Después tenias que usar senθ para que de ahí despejaras v ya que
Sen θ = v/a
Despejas v y te queda
v = a Sen θ
Ahora usando esto vas a realizar muchos cambios en tu integral inicial
∫ [ √(25 - x²) ] / [ x ] dx
Como v = x pero v = a Sen θ entonces x = a Sen θ donde a ya habíamos quedado que era 5 entonces todo donde haya una x lo cambiaras por una "5 Sen θ" toma en cuenta que como ahora la variable va a ser "θ" vas a cambiar de "dx" a "dθ"
∫ [ √(25 - (5 Sen θ)²) ] / [ (5 Sen θ) ] dθ
Realizas las operaciones
∫ [ √(25 - 25 Sen² θ) ] / [ (5 Sen θ) ] dθ
Dentro de la raiz puedes factorizar el 25
∫ [ √((25)(1 - Sen² θ)) ] / [ (5 Sen θ) ] dθ
Raiz de 25 es 5
∫ [ 5√(1 - Sen² θ) ] / [ (5 Sen θ) ] dθ
Se pueden eliminar los 5
∫ [ √(1 - Sen² θ) ] / [ Sen θ ] dθ
Ahora usando identidades trigonométricas puedes cambiar a "1 - Sen² θ" por "Cos² θ"
∫ [ √(Cos² θ) ] / [ Sen θ ] dθ
Ahora a "Cos² θ" si le puede sacar raíz y queda
∫ [ Cos θ ] / [ Sen θ ] dθ
Ahora existe otra identidad que puedes usar que dice
(Cos θ)/(Sen θ) = Ctg θ
Entonces la integral queda
∫ Ctg θ dθ
Y para integrar eso existe una formula que dice
∫ Ctg (v) dv = ln [ Sen (v) ] + c
Entonces
∫ Ctg θ dθ = ln [ Sen θ ] + c
Ahora debes regresar todo a términos de x por suerte esta va a ser fácil pues ya sabemos que "Sen θ = v/a" y que en este caso "v = x" y "a = 5"
Por lo uqe el resultado queda
ln [ x/5 ] + c
Entonces
∫ [ √(25 - x²) ] / [ x ] dx = ln [ x/5 ] + c
Con esas son todas aunque no estoy muy seguro de la ultima
Espero te sirva