Usando as propriedades operatorias dos logaritmos,calcule:?

amanda

a)log3(81raiz de 3/raiz terceira de 3

b)log1/2(4 raiz quinta de 8)

c)log2(16raiz de 8)

rbgrijo

log3 (81V3 / ³V3) = x

3^x = (81V3 / ³V3)

3^x = 3^4.3^1/2 / 3^1/3

3^x = 3^(4 +1/2) / 3^1/3

3^x = 3^9/2 / 3^1/3

3^x = 3^(9/2 -1/3)

x = (9/2 - 1/3)

x = 27-2 /6

x - 25/6 #

log1/2 (4. 8^1/5) = x

(1/2)^x = 4. 8^1/5

1/2^x = 2². 2³(1/5)

2^-x = 2^(2+ 3/5)

-x = (2 +3/5)

-x = 13/5

x = -13/5 #

log2 16V8 = x

2^x = 16V8

2^x = 16.8¹/²

2^x = 2^4. (2³)¹/²

2^x = 2^4. 2³/²

2^x = 2^(4 +3/2)

x = (4 +3/2)

x = 11/2 #

adjemir-p

Vamos lá.

Pelo que você escreveu, temos as seguintes questões que vamos igualar, cada uma, a um certo "x", e que vamos tentar resolvê-las passo a passo pra você entender bem. Assim, temos:

a) log₃ [81√(3)/∛(3)] = x ---- veja: o que temos aqui é a mesma coisa que:

3˟ = 81√(3)/∛(3) --- veja que √(3) = 3¹/²; e ∛(3) = 3¹/³ . Assim, ficamos com:

3˟ = 81*(3¹/²) / (3¹/³) --- veja que no 2º membro temos divisão de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Assim, vamos ficar com:

3˟ = 81*3¹/²⁻¹/³ ----- veja que 3¹/²⁻¹/³ = 3¹/⁶ . Assim, ficamos com:

3˟ = 81*3¹/⁶ --- observe que 81 = 3⁴ . Assim, ficamos com:

3˟ = 3⁴*3¹/⁶ ---- agora ficamos com uma multiplicação de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e somam-se os expoentes. Assim, vamos ficar com:

3˟ = 3⁴⁺¹/⁶ ----- veja que 3⁴⁺¹/⁶ = 3²⁵/⁶ . Assim, ficamos com:

3˟ = 3²⁵/⁶ ---- como as bases são iguais (tudo é base 3), então igualamos os expoentes. Assim:

x = 25/6 <--- Esta é a resposta para a questão do item "a".

b) log₁ Ì· ₂ [4.⁵√(8)] = x ---- veja que isto é a mesma coisa que:

(1/2)˟ = 4.⁵√(8) ---- veja que ⁵√(8) = 8¹/⁵ . Assim, ficamos com:

(1/2)˟ = 4*8¹/⁵ ---- veja que 4 = 2² e 8 = 2³. Assim, ficamos com:

(1/2)˟ = (2²)*(2³)¹/⁵ ---- desenvolvendo, ficamos com:

(1/2)˟ = 2² * 2³*⁽¹/⁵⁾ --- continuando, ficamos com:

(1/2)˟ = 2² * 2³/⁵ --- veja que 2² * 2³/⁵ = 2²⁺³/⁵ = 2¹³/⁵ . Assim:

(1/2)˟ = 2¹³/⁵ ----- finalmente veja que (1/2) = 2⁻¹ . Assim:

(2⁻¹)˟ = 2¹³/⁵ ---- desenvolvendo, ficamos com:

2⁻¹*˟ = 2¹³/⁵

2⁻˟ = 2¹³/⁵ ----- como as bases são iguais (tudo é base 2), então igualamos os expoentes. Assim:

-x = 13/5 ----- multiplicando ambos os membros por (-1), ficamos com:

x = - 13/5 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".

c) log₂ [16*√(8)] = x ---- veja: o que temos aqui é a mesma coisa que:

2˟ = 16*√(8) ----- veja que √(8) = 8¹/². Assim, ficamos com:

2˟ = 16*8¹/² ---- veja que 16 = 2⁴ e 8 = 2³. Assim ficamos com:

2˟ = 2⁴ * (2³)¹/² ----- desenvolvendo, ficamos com:

2˟ = 2⁴ * 2³*¹/²

2˟ = 2⁴ * 2³/² --- veja que 2⁴ * 2³/² = 2⁴⁺³/² = 2¹¹/². Assim:

2˟ = 2¹¹/² --- como as bases são iguais (tudo é base 2), então igualamos os expoentes. Assim:

x = 11/2 <--- Esta é a resposta para a questão do item "c".

Deu pra entender bem todas as questões?

OK?

Adjemir.