∫((100-64x)/x)^(1/2)
ayuda por favor
Hola,
∫ √[(100 - 64x) /x] dx =
podemos escribir la integranda como:
∫ [√(100 - 64x) /√x] dx =
luego multipliquemos y dividamos por √x:
∫ {[√(100 - 64x) √x] /(√x √x)} dx =
(reescribiendo un único radical en el numerador)
∫ {√[(100 - 64x) x] /(√x)²} dx =
∫ {[√(100x - 64x²)] /x} dx =
completemos el cuadrado dentro de la raíz sumando y restando 625/16 (= (25/4)²):
∫ { {√[(625/16) - (625/16) + 100x - 64x²]} /x} dx =
∫ { {√[(625 - 625 + 1600x - 1024x²)/16]} /x} dx =
∫ { {{√[625 - (1024x² - 1600x + 625)]} /4} /x} dx =
(escribiendo el radicando como diferencia de dos cuadrados)
∫ { {√[25² - (32x - 25)²]} /(4x)} dx =
(sustitución trigonométrica) sea:
32x - 25 = 25senθ → senθ = (32x - 25)/25 ↔ θ = arcsen[(32x - 25)/25]
32x = 25senθ + 25 = 25(senθ + 1)
x = (1/32) 25(senθ + 1) = (25/32)(senθ + 1)
dx = (25/32)cosθ dθ
luego, sustituyendo:
∫ { {√[25² - (32x - 25)²]} /(4x)} dx = ∫ { {√[25² - (25senθ)²]} /[4 (25/32)(senθ +
1)]} (25/32)cosθ dθ =
∫ {[√(25² - 25²sen²θ)] /[(25/8)(senθ + 1)]} (25/32)cosθ dθ =
∫ {√[25² (1 - sen²θ)]} {8 /[25(senθ + 1)]} (25/32)cosθ dθ =
(aplicando la identidad 1 - sen²θ = cos²θ y simplificando)
∫ [√(25²cos²θ)] [1/(senθ + 1)] (1/4)cosθ dθ =
∫ 25cosθ [1/(senθ + 1)] (1/4)cosθ dθ =
∫ (25/4) [cos²θ /(senθ + 1)] dθ =
(aplicando la identidad cos²θ = 1 - sen²θ)
∫ (25/4) [(1 - sen²θ) /(senθ + 1)] dθ =
(factorizando el numerador y simplificando)
∫ (25/4) {[(1 - senθ)(1 + senθ)] /(senθ + 1)} dθ =
∫ (25/4)(1 - senθ) dθ =
(partiendo en dos integrales y sacando las constantes)
(25/4) ∫ dθ + (25/4) ∫ (- senθ) dθ =
(25/4)θ + (25/4)cosθ + C
recordemos que:
θ = arcsen[(32x - 25)/25]
senθ = (32x - 25)/25
por lo tanto:
cosθ = √(1 - sen²θ) = √{1 - [(32x - 25)/25]²} = √{1 - [(1024x² - 1600x + 625)/625]} =
√{[625 - (1024x² - 1600x + 625)]/625} = √{[625 - 1024x² + 1600x - 625)]/625} =
√[(1600x - 1024x²)/625] = (sacando 16) = √{[16(100x - 64x²)]/625} =
4 [√(100x - 64x²)] /25
(25/4)θ + (25/4)cosθ + C = (25/4)arcsen[(32x - 25)/25] + (25/4) {{4 [√(100x -
64x²)]} /25} + C =
(25/4)arcsen[(32x - 25)/25] + √(100x - 64x²)] + C
el resultado es:
(25/4)arcsen[(32x - 25)/25] + √(100x - 64x²) + C
espero haber sido de ayuda
¡Saludos!
Comments
Hola,
∫ √[(100 - 64x) /x] dx =
podemos escribir la integranda como:
∫ [√(100 - 64x) /√x] dx =
luego multipliquemos y dividamos por √x:
∫ {[√(100 - 64x) √x] /(√x √x)} dx =
(reescribiendo un único radical en el numerador)
∫ {√[(100 - 64x) x] /(√x)²} dx =
∫ {[√(100x - 64x²)] /x} dx =
completemos el cuadrado dentro de la raíz sumando y restando 625/16 (= (25/4)²):
∫ { {√[(625/16) - (625/16) + 100x - 64x²]} /x} dx =
∫ { {√[(625 - 625 + 1600x - 1024x²)/16]} /x} dx =
∫ { {{√[625 - (1024x² - 1600x + 625)]} /4} /x} dx =
(escribiendo el radicando como diferencia de dos cuadrados)
∫ { {√[25² - (32x - 25)²]} /(4x)} dx =
(sustitución trigonométrica) sea:
32x - 25 = 25senθ → senθ = (32x - 25)/25 ↔ θ = arcsen[(32x - 25)/25]
32x = 25senθ + 25 = 25(senθ + 1)
x = (1/32) 25(senθ + 1) = (25/32)(senθ + 1)
dx = (25/32)cosθ dθ
luego, sustituyendo:
∫ { {√[25² - (32x - 25)²]} /(4x)} dx = ∫ { {√[25² - (25senθ)²]} /[4 (25/32)(senθ +
1)]} (25/32)cosθ dθ =
∫ {[√(25² - 25²sen²θ)] /[(25/8)(senθ + 1)]} (25/32)cosθ dθ =
∫ {√[25² (1 - sen²θ)]} {8 /[25(senθ + 1)]} (25/32)cosθ dθ =
(aplicando la identidad 1 - sen²θ = cos²θ y simplificando)
∫ [√(25²cos²θ)] [1/(senθ + 1)] (1/4)cosθ dθ =
∫ 25cosθ [1/(senθ + 1)] (1/4)cosθ dθ =
∫ (25/4) [cos²θ /(senθ + 1)] dθ =
(aplicando la identidad cos²θ = 1 - sen²θ)
∫ (25/4) [(1 - sen²θ) /(senθ + 1)] dθ =
(factorizando el numerador y simplificando)
∫ (25/4) {[(1 - senθ)(1 + senθ)] /(senθ + 1)} dθ =
∫ (25/4)(1 - senθ) dθ =
(partiendo en dos integrales y sacando las constantes)
(25/4) ∫ dθ + (25/4) ∫ (- senθ) dθ =
(25/4)θ + (25/4)cosθ + C
recordemos que:
θ = arcsen[(32x - 25)/25]
senθ = (32x - 25)/25
por lo tanto:
cosθ = √(1 - sen²θ) = √{1 - [(32x - 25)/25]²} = √{1 - [(1024x² - 1600x + 625)/625]} =
√{[625 - (1024x² - 1600x + 625)]/625} = √{[625 - 1024x² + 1600x - 625)]/625} =
√[(1600x - 1024x²)/625] = (sacando 16) = √{[16(100x - 64x²)]/625} =
4 [√(100x - 64x²)] /25
luego, sustituyendo:
(25/4)θ + (25/4)cosθ + C = (25/4)arcsen[(32x - 25)/25] + (25/4) {{4 [√(100x -
64x²)]} /25} + C =
(25/4)arcsen[(32x - 25)/25] + √(100x - 64x²)] + C
el resultado es:
(25/4)arcsen[(32x - 25)/25] + √(100x - 64x²) + C
espero haber sido de ayuda
¡Saludos!