problema di fluidodinamica?

ho un contenitore, pieno d' acqua, con un forellino nel fondo. L'acqua esce dal forellino, come calcolo l'altezza del fluido in funzione del tempo h(t)?

Il contenitore è cilindrico di Raggio R (16 cm), il forellino ha raggio r (2.5 mm), l'altezza del contenitore è H(19 cm), e dentro vi è contenuta una massa m d'acqua la cui altezza è 10 cm.

Grazie.

Comments

  • come dice donato ci si imbatte in una equazione differenziale non lineare, ma fortunatamente si può risolvere per separazione di variabili (è un caso semplice tuttosommato).

    andiamo con ordine e scriviamola prima questa equazione!

    considerando un punto (1) sulla superficie superiore dell'acqua ed un altro punto (2) sulla superficie del forellino, l'eq. di bernoulli dice:

    ½ d (v1)² + d g h + P0 = ½ d (v2)² + P0

    avendo posto lo 0 sul fondo ed h è l'altezza dell'acqua (che dipende dal tempo!!)

    eliminando P0, moltiplicando per 2 e dividendo per d

    (v1)² + 2 g h = (v2)²

    dall'equazione di continuità sappiamo che A1 v1 = A2 v2 ---> v2 = (A1 / A2) v1

    pertanto

    (v1)² + 2 g h = (A1 / A2)² (v1)²

    h = (v1)² * { [ (A1 / A2)² - 1] / 2 g }

    il termine tra parentesi graffe è noto/calcolabile e costante. chiamiamolo per brevità "k".

    h = k (v1)²

    (*)

    per semplicità fammi usare "v" invece di "v1"

    v è la velocità con cui si abbassa l'acqua (ricordati che v1 è la velocità del fluido in un punto posto sulla superficie superiore), quindi è la derivata temporale della posizione di detto punto, che poi è h(t).

    v(t) = h'(t)

    la (*) diventa

    h(t) = k * [ h'(t) ]²

    (#)

    LA NOSTRA BELLA EQUAZIONE DIFFERENZIALE NON LINEARE (MA SEPARABILE)!

    esplicitando h'(t) si ha (GRAZIE A DONATO HO CORRETTO IL SEGNO: LA VELOCITÀ È NEGATIVA IN QUANTO DIRETTA VERSO IL BASSO)

    h'(t) = - (1/√k) √[ h(t) ]

    e dividendo per separare le variabili (in realtà è un caso scemo in cui a destra resta una costante...)

    h'(t)

    ---------- = - 1/√k

    √[ h(t) ]

    integrando rispetto al tempo entrambi i membri

    2 √[ h(t) ] = - (1/√k) t + C

    per trovare la costante di integrazione C imponiamo che h(0) = h0 = 10 cm

    2 √h0 = C

    quindi....

    2 √[ h(t) ] = - (1/√k) t + 2 √h0

    elevando al quadrato

    h(t) = (1 / 4k) t² - √(h0 / k) t + h0

    ricordando che k = [ (A1 / A2)² - 1] / 2 g = [ (R² / r²)² - 1] / 2 g

    se vuoi una soluzione numerica prendi abbastanza cifre decimali sennò gli errori incasinano tutto.

    da qualche simulazione che ho fatto ci mette circa 10 minuti a svuotarsi e la velocità è praticamente costante!

  • assumendo il Cc = 0,61

    H(t) = g/2 * [A1*Cc/A2 * t ]²

    A1 = A(r=2.5 mm)

    A2 = A(r=16cm)

  • viene un'equazione differenziale non lineare

    dall'equazione di bernoulli e conservazione della portata

    la non linearità è dovuta a v^2

    dovresti risolverla numericamente

    -------

    complimenti ad h7 per la soluzione, non avevo pensato che potesse essere a variabili separabili

    tuttavia mi sembra che la tua soluzione sia crescente in funzione di t

    allora il livello h aumenta man mano che il serbatoio si svuota? ma si svuota o si riempie?

    ---------

    ok ho visto che h7 ha corretto, ora si svuota

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