problema di fluidodinamica?
ho un contenitore, pieno d' acqua, con un forellino nel fondo. L'acqua esce dal forellino, come calcolo l'altezza del fluido in funzione del tempo h(t)?
Il contenitore è cilindrico di Raggio R (16 cm), il forellino ha raggio r (2.5 mm), l'altezza del contenitore è H(19 cm), e dentro vi è contenuta una massa m d'acqua la cui altezza è 10 cm.
Grazie.
Comments
come dice donato ci si imbatte in una equazione differenziale non lineare, ma fortunatamente si può risolvere per separazione di variabili (è un caso semplice tuttosommato).
andiamo con ordine e scriviamola prima questa equazione!
considerando un punto (1) sulla superficie superiore dell'acqua ed un altro punto (2) sulla superficie del forellino, l'eq. di bernoulli dice:
½ d (v1)² + d g h + P0 = ½ d (v2)² + P0
avendo posto lo 0 sul fondo ed h è l'altezza dell'acqua (che dipende dal tempo!!)
eliminando P0, moltiplicando per 2 e dividendo per d
(v1)² + 2 g h = (v2)²
dall'equazione di continuità sappiamo che A1 v1 = A2 v2 ---> v2 = (A1 / A2) v1
pertanto
(v1)² + 2 g h = (A1 / A2)² (v1)²
h = (v1)² * { [ (A1 / A2)² - 1] / 2 g }
il termine tra parentesi graffe è noto/calcolabile e costante. chiamiamolo per brevità "k".
h = k (v1)²
(*)
per semplicità fammi usare "v" invece di "v1"
v è la velocità con cui si abbassa l'acqua (ricordati che v1 è la velocità del fluido in un punto posto sulla superficie superiore), quindi è la derivata temporale della posizione di detto punto, che poi è h(t).
v(t) = h'(t)
la (*) diventa
h(t) = k * [ h'(t) ]²
(#)
LA NOSTRA BELLA EQUAZIONE DIFFERENZIALE NON LINEARE (MA SEPARABILE)!
esplicitando h'(t) si ha (GRAZIE A DONATO HO CORRETTO IL SEGNO: LA VELOCITÀ È NEGATIVA IN QUANTO DIRETTA VERSO IL BASSO)
h'(t) = - (1/√k) √[ h(t) ]
e dividendo per separare le variabili (in realtà è un caso scemo in cui a destra resta una costante...)
h'(t)
---------- = - 1/√k
√[ h(t) ]
integrando rispetto al tempo entrambi i membri
2 √[ h(t) ] = - (1/√k) t + C
per trovare la costante di integrazione C imponiamo che h(0) = h0 = 10 cm
2 √h0 = C
quindi....
2 √[ h(t) ] = - (1/√k) t + 2 √h0
elevando al quadrato
h(t) = (1 / 4k) t² - √(h0 / k) t + h0
ricordando che k = [ (A1 / A2)² - 1] / 2 g = [ (R² / r²)² - 1] / 2 g
se vuoi una soluzione numerica prendi abbastanza cifre decimali sennò gli errori incasinano tutto.
da qualche simulazione che ho fatto ci mette circa 10 minuti a svuotarsi e la velocità è praticamente costante!
assumendo il Cc = 0,61
H(t) = g/2 * [A1*Cc/A2 * t ]²
A1 = A(r=2.5 mm)
A2 = A(r=16cm)
viene un'equazione differenziale non lineare
dall'equazione di bernoulli e conservazione della portata
la non linearità è dovuta a v^2
dovresti risolverla numericamente
-------
complimenti ad h7 per la soluzione, non avevo pensato che potesse essere a variabili separabili
tuttavia mi sembra che la tua soluzione sia crescente in funzione di t
allora il livello h aumenta man mano che il serbatoio si svuota? ma si svuota o si riempie?
---------
ok ho visto che h7 ha corretto, ora si svuota