me ajudem com equação do plano e equação parametrica?
1- considere as retas:
r:(x,y,z)= t (1,2,-3),t
s:(x,y,z)= (0,1,2)+ s(2,4,-6),s
encontre a equação geral do plano que contem essas duas retas.
2- determine as equações parametricas da reta r que é a intersecção dos planos
r1: x-2y+2z=0
r2: 3x-5y+7z=0
Comments
1- considere as retas:
r:(x,y,z)= t (1,2,-3),t
s:(x,y,z)= (0,1,2)+ s(2,4,-6),s
encontre a equação geral do plano que contem essas duas retas.
Vetor diretor de r : nr = (1, 2, -3)
Vetor diretor de s : ns = (2, 4, -6)
Como os vetores são paralelos (existe um k = 2 na condição de paralelismo entre eles), determinar um outro vetor a partir de dois pontos contidos em cada reta.
Para a reta r, fazendo t = 1 ⇒ A(1, 2, -3)
Para a reta s, fazendo t = 0 ⇒ B(0, 1, 2)
Vetor AB ⇒
AB = B - A ⇒ (0, 1, 2) - (1, 2, -3) = (-1, -1, 1)
Criando um vetor simultaneamente ortogonal a nr e AB (será o vetor normal do plano)
nr x AB ⇒
[ i ... j ... k]
[ 1 .. 2 . -3]
[-1 . -1 .. 1] ⇒ (2 - 3)i - (1 - 3)j + (-1 + 2)k ⇒ -i + 2j + k
n = (-1, 2, 1)
Da Equação Geral do Plano:
ax + by + cz + d = 0, onde (a, b, c) é o vetor normal do plano. Substituindo
-x + 2y + z + d = 0 ⇒ Ponto B pertence ao plano, coloca-lo na equação
-0 + 2 . 1 + 2 + d = 0
2 + 2 + d = 0
4 + d = 0
d = -4
Equação Geral ⇒
-x + 2y + z - 4 = 0 ⇒ Multiplicar tudo por (-1) pra tirar aquele sinal negativo da frente
x - 2y - z + 4 = 0
..............................................................................................
2- determine as equações parametricas da reta r que é a intersecção dos planos
r₁ : x - 2y + 2z = 0
r₂ : 3x - 5y + 7z = 0
Tirando seus vetores normais ⇒
n₁ = (1, -2, 2)
n₂ = (3, -5, 7)
Criando um vetor simultaneamente ortogonal a n₁ e n₂ (será o vetor diretor da reta procurada)
n₁ x n₂ ⇒
[i ... j ... k]
[1 . -2 .. 2]
[3 . -5 .. 7] ⇒ (-14 + 10)i - (7 - 6)j + (-5 + 6)k ⇒ -4i - j + k
n = (-4, -1, 1)
.
.
Determinando um ponto comum aos dois planos, do sistema formado pelas suas equações ⇒
{ x - 2y + 2z = 0
{ 3x - 5y + 7z = 0
É um Sistema com infinitas soluções. Arbitrariamente fazendo x = 0
{ -2y + 2z = 0
{ -5y + 7z = 0
Da solução trivial deste sistema, temos: y = 0 e z = 0
Os planos contém a origem do espaço. Ponto comum a eles: A(0, 0, 0)
Das equações paramétricas da reta ⇒
{ x = xo + a . t
{ y = yo + b . t
{ z = zo + c . t
Onde (xo, yo, zo) é um ponto por onde ela passa e (a, b, c) é um vetor diretor. Substituindo tudo ⇒
{ x = 0 - 4t
{ y = 0 - t
{ z = 0 + 1