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Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a la recta x-3y+9=0 y 3x+y-3=0 yque tenga su centro en la recta 7x+12y-32=0
Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a la recta x-3y+9=0 y 3x+y-3=0 yque tenga su centro en la recta 7x+12y-32=0
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Estimado amigo, este tipo de problema normalmente tiene dos soluciones. Primero se describirá el procedimiento paso a paso y luego se desarrollará dicho procedimiento:
Descripción del procedimiento:
1. Se la hallan las ecuaciones de las bisectrices de las tangentes, a las que llamaremos y1 y y2
2. Se intersectan las bisectrices con la recta que contiene al centro. Los puntos de intersección representan los centros de las circunferencias y los llamaremos C1 y C2
3. Se halla la ecuación de las rectas perpendiculares a las tangentes que pasan por C1 y C2. Llamaremos a estas rectas y3 y y4
4. Se intersectan y3 y y4 con las rectas tangentes, a fin de obtener los puntos de tangencia T1 y T2
5. Hallamos los radios de las circunferencias a los que llamaremos r1 y r2
6. Conocidos los centros C1 y C2 y los radios r1 y r2, determinamos las ecuaciones de las circunferencias
Desarrollo del procedimeinto:
1. Bisectrices de las tangentes
las ecuaciones de las bisectrices se obtienen con:
A1x + B1y + C1....A2x + B2y + C2
----------------------- = ------------------------
√(A1²+B1²)..............√(A2²+B2²)
donde A1, B1, A2, B2 son los coeficientes de de x e y de las dos rectas y C1, C2 los términos independientes de las ods rectas.
Entonces, para el problema planteado:
x - 3y + 9 ......... 3x + y - 3
------------------ = -------------------- =>
√(1²+(-3)²) .......... √(3²+1²)
x - 3y + 9 ......... 3x + y - 3
------------------ = -------------------- =>
√(10) ................... √(10)
como los denominadores son iguales, nos queda:
x - 3y + 9 = ±(3x + y - 3)
trabajamos primero con el signo + para obtener y1:
x - 3y + 9 = (3x + y - 3) =>
3x - x + y + 3y - 3 - 9 =>
2x + 4y - 12 = 0 ≡ y1
trabajamos ahora con el signo - para obtener y2:
x - 3y + 9 = -(3x + y - 3) =>
x - 3y + 9 = -3x - y + 3 =>
x + 3x -3y + y + 9 - 3 = 0 =>
4x -2y + 6 = 0 ≡ y2
2. Intersección de y1 y y2 con la recta que contiene al Centro:
trabajamos primero con y1:
2x + 4y - 12 = 0
7x+12y-32=0
multiplicamos la primera ec. por -3:
-6x -12y + 36 = 0
7x+12y-32=0
sumamos miembro a miembro:
x + 4 = 0 =>
x = -4
hallamos y de cualquiera de las dos ecuaciones. Utilicemos la ec. de y1:
2x + 4y - 12 = 0 =>
2(-4) + 4y - 12 = 0 =>
-8 + 4y - 12 = 0 =>
4y - 20 = 0 =>
y = 20/4 =>
y = 5
entonces, las coordenadas del centro C1 son:
C1(-4,5)
ahora trabajamos primero con y2:
4x -2y + 6 = 0
7x+12y-32=0
multiplicamos la primera ec. por 6:
24x -12y + 36 = 0
7x+12y-32=0
sumamos miembro a miembro:
31x + 4 = 0 =>
x = - 4/31
hallamos y de cualquiera de las dos ecuaciones. Utilicemos la ec. de y2:
4x -2y + 6 = 0 =>
4(-4/31) -2y + 6 = 0 =>
-16/31 - 2y + 6 = 0 =>
-2y = 16/31 - 186/31 =>
-2y = -170/31 =>
y = -170 / (31)(-2) =>
y = 170 / 62 =>
y = 85 / 31
entonces, las coordenadas del centro C2 son:
C2(-4/31,85/31)
3. Perpendiculares a las tangentes, pasando por C1 y por C2
seleccionamos una de las dos tangentes: x-3y+9=0
pasamos la ecuación de esta recta tangente a su forma simplificada:
x-3y+9=0 =>
-3y = -x - 9 =>
3y = x + 9 =>
y = x/3 + 9/3 =>
y = x/3 + 3
por lo tanto, la pendiente m de esta recta tangente es:
m = 1/3
determinemos la pendiente m1 de las rectas perpendiculares a esta recta tangente. Sabemos que el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es igual a -1, por lo tanto:
(m1)(m) = -1 =>
m1 = -1 / 1/3 =>
m1 = -3
Hallemos primero y3 asociado al punto C1:
y = m1x + b =>
y = -3x + b
para hallar b sustituimos las coordenadas del punto C1(-4,5)
5 = -3(-4) + b =>
b = 5 - 12 =>
b = -7
por lo tanto:
y3 ≡ y = -3x - 7
Hallemos ahora y4 asociado al punto C2:
y = m1x + b =>
y = -3x + b
para hallar b sustituimos las coordenadas del punto C2(-4/31,85/31):
85/31 = -3(-4/31) + b =>
b = 85/31 - 12/31 =>
b = 73/31
entonces:
y4 ≡ y = -3x + 73/31
4. Intersección de y3 y y4 con la tangente utilizada en el punto anterior x-3y+9=0, para hallar los puntos de tangencia T1 y T2:
Intersectemos primero y3 con x-3y+9=0 para obtener T1
y = -3x - 7
x-3y+9=0
sustituimos y de la primera eccuación en la segunda:
x-3(-3x - 7)+9=0 =>
x+9x+21+9 = 0 =>
10x = -30 =>
x = -30/10 =>
x = -3
despejamos y de y3:
y = -3x - 7 =>
y = -3(-3) - 7 =>
y = 9 - 7 =>
y = 2
entonces, las coordenadas del punto de tangencia T1 son:
T1(-3,2)
Intersectemos ahora y4 con x-3y+9=0 para obtener T2
y = -3x + 73/31
x-3y+9=0
sustituimos y de la primera eccuación en la segunda:
x-3(-3x + 73/31)+9=0 =>
x+9x-219/31+9 = 0 =>
10x = -9 + 219/31 =>
10x = -279/31 + 219/31 =>
10x = -60/31
x = -60/310
x = -6/31
despejamos y de y4:
y = -3x + 73/31 =>
y = -3(-6/31) + 73/31 =>
y = 18/31 + 73/31 =>
y = 91/31
entonces, las coordenadas del punto de tangencia T2 son:
T2(-6/31,91/31)
5. Radios de las circunferencias r1 y r2
r1 equivale a la distancia C1T1, por lo tanto:
r1 = √[(C1x-T1x)² + (C1y-T1y)²] =>
r1 = √[(-4-(-3))² + (5-2)²] =>
r1 = √[(-1)² + (3)²] =>
r1 = √(1 + 9) =>
r1 = √(10)
r2 equivale a la distancia C2T2, por lo tanto:
r2 = √[(C2x-T2x)² + (C2y-T2y)²] =>
r2 = √[(-4/31-(-6/31))² + (85/31-91/31)²] =>
r2 = √[(-4/31+6/31)² + (85/31-91/31)²] =>
r2 = √[(2/31)² + (-6/31)²] =>
r2 = √(4/961 + 36/961) =>
r2 = √(40/961)
6. Ecuaciones de las circunferencias
Recordemos la ecuación de la circunferencia
(x-a)² + (y-b)² = r²
donde:
(a,b) son las coordenadas del centro y
r es el radio de la circunferencia
Determinemos primero la ecuación con C1 y r1:
(x-C1x)² + (y-C1y)² = r1² =>
(x-(-4))² + (y-5)² = √(10)² =>
(x+4)² + (y-5)² = 10 PRIMERA SOLUCION
Determinemos ahora la ecuación con C2 y r2:
-4/31,85/31
(x-C2x)² + (y-C2y)² = r2² =>
(x-(-4/31))² + (y-85/31)² = √(40/961)² =>
(x+4/31)² + (y-85/31)² = 40/961 SEGUNDA SOLUCION
En el siguiente link la solución en forma gráfica, hecha con el Programa Graphmatica (por favor aumenta el zoom):
http://img29.imageshack.us/img29/117/porfaayudaesd...
Espero haber podido ayudarte. Saludos!
Cada recta tangente a la circunferencia buscada tiene una recta perpendicular que pasa por el punto de tangencia y el centro:
x-3y+9=0 --> y = 3+(1/3)x y su perpendicular : y = c1 - 3x
3x+y-3=0 --> y = 3 - 3x y su perpendicular : y = c2 + (1/3)x
Recta que pasa por el centro : 7x+12y-32=0 --> y = 8/3 - 7x/2
Usando las perpendiculares y esta ultima ecuacion, obtenemos :
c1 = (1/7)(96 - 29y) ........ c2 = (1/21)(-32+33y)
Usando las ecuaciones de las rectas perpendiculares:
Si x = 0 ..... y = c1 - 3x â y = c1
y ademas en y = c2 + (1/3)x â y = c2
Sustituyendo estos resultados en las ecuaciones de c1 y c2:
c1 = (1/7)(96 - 29 c1) ........ â c1 = 8/3
c2 = (1/21)(-32+33 c2)....... â c2 = 8/3
Las ecuaciones de las perpendiculares quedan:
y = 8/3 - 3x
y = 8/3 +(1/3)x
Estas ecuaciones se intersectan en el centro.
Resolviendolas:
x = 0 ... y... y =8/3 .........centro (0, 8/3)
El Radio:
La ecuacion original y = 3+(1/3)x ...y su perpendicular y = 8/3 - 3x, se intersectan en el punto de tangencia con la circunferencia:
Resolviendo:
y = 3+(1/3)x
y = 8/3 - 3x
x = - 1/10 .....y ..... y = 89/30
El radio queda determinado por la distancia entre este punto y el centro:
r² = (89/30 - 8/3)^2 + (-1/10 - 0)^2
r² = .1
r = .01
La ecuacion de la circunferencia es:
(y - 8/3)^2 + x² = 0.1
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