10 pontos para quem resolver primeiro?
9) Aumentando um número X de 12 unidades, seu logaritmo na base 5 aumenta 2 unidades. Calcule o valor de x.
10)Se A e B são raizes da equação x² + x + 4 = 0, calcule o valo de log4 (na base 4) (5AB - 2A - 2B)
POR FAVOR, ME AJUDEM!
Comments
9) somando 12 a x, aumenta o logaritmo de x em 2 unidades, então o logaritmo de (x + 12) é igual ao logaritmo de x acrescido de 2 unidades:
log5 (x + 12) = log5 (x) + 2
passando log5 (x) para o outro lado, o sinal fica negativo:
log5 (x + 12) - log5 (x) = 2
qualquer subtração de dois logaritmos de mesma base pode ser substituída por um único logaritmo da divisão entre os respectivos logaritmandos. ou seja, log a - log b = log(a/b)
portanto:
log5 (x + 12 / x) = 2
aplicando a definição de logaritmo, temos que a base (5) elevada ao logaritmo (2) é igual ao logaritmando (x + 12 / x):
(x + 12) / x = 5^2
agora, é só resolver a equação:
(x + 12) / x = 25
x + 12 = 25x
24x = 12
x = 12/24
x = 1/2.
10) x² + x + 4 = 0
precisa usar a fórmula de Báscara para resolver.
é melhor já antecipar que as raízes serão complexas. portanto, você deve ter se enganado ao escrever a equação.
x = [-b +- raiz de (b² - 4ac)] / 2a
a = 1, b = 1 e c = 4.
x = [-1 +- raiz de (1² - 4*1*4)] / 2*1
x = [-1 +- raiz de (1 - 16)] / 2
x = [-1 +- raiz de (-15)] / 2
NOTA: raiz de (-15) será um número complexo. como i² = -1, pode-se reescrever raiz de (-15) como raiz de (15i²). portanto, essa raiz é igual a: i * raiz de (15)
x = [-1 +- i * raiz de (15)] / 2
portanto:
RAIZ 1: [-1 + i * raiz de (15)]/2
RAIZ 2: [-1 - i * raiz de (15)]/2
se A e B são as raízes da equação, então:
A = [-1 + i * raiz de (15)]/2
B = [-1 - i * raiz de (15)]/2
agora,
log4 (na base 4) (5AB - 2A - 2B)
primeiro, vamos calcular a expressão de dentro do logaritmo (o logaritmando):
5AB - 2A - 2B
5[-1 + i * raiz de (15)]/2*[-1 - i * raiz de (15)]/2 - 2{{[-1 + i * raiz de (15)]/2}} - 2{{[-1 - i * raiz de (15)]/2}} =
= 5{[-1 + i * raiz de (15)]*[-1 - i * raiz de (15)]}/4 - 2{{[-1 + i * raiz de (15)]/2}} - 2{{[-1 - i * raiz de (15)]/2}}
observe o termo que está sendo multiplicado ao 5:
[-1 + i * raiz de (15)]*[-1 - i * raiz de (15)]
é um produto de uma soma por uma diferença. pode ser resolvido com um produto notável: (x + y)(x - y) = x² - y²
(-1)² - (i * raiz de (15))² = 1 - i²*(raiz de 15)² = 1 - (-1)(15) = 1 - (-15) = 1 + 15 = 16
substituindo isso na expressão:
5{16}/4 - 2{{[-1 + i * raiz de (15)]/2}} - 2{{[-1 - i * raiz de (15)]/2}}
cortando os 2 nas frações:
5*4 - [-1 + i * raiz de (15)] - [-1 - i * raiz de (15)]
20 - [-1 + i * raiz de (15)] - [-1 - i * raiz de (15)]
realizando a distributiva com o sinal negativo:
20 + 1 - i * raiz de (15) + 1 + i * raiz de (15)
corta +i * raiz de (15) com -i * raiz de (15):
20 + 1 + 1 = 20 + 2 = 22
resposta: log4 22 (não há nenhum meio de simplificar isso)
repetindo, provavelmente a equação do 2º grau está escrita errado.
9)
log x (base 5) = y
5^y = x
log (x + 12) (base 5) = (y + 2)
5^(y + 2) = (x + 12)
5^y*5^2 = (x + 12)
x*25 = x + 12
25*x - x = 12
24x = 12
x = 12/24
x = 0,5.
10)
S = - b/a = - 1/1 = -1
P = c/a = 4/1 = 4.
9)14 unidades
fácil, equação de 2° grau.....................