DESAFIO.... (UFU-MG) Se o máximo divisor comum entre os números 144 e (30)^p é 36,?
(UFU-MG) Se o máximo divisor comum entre os números 144 e (30)^p é 36, em que p é um inteiro positivo então o expoente p é igual a
A resposta é 2, preciso da resolução
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Vamos decompor os dois números:
144 | 2
72 ..| 2
36...| 2
18...| 2
9 ....| 3
3.....| 3
1 ....|---> 2^4 * 3^2
Vamos achar os fatores primos de (30)^p, mas para isso, usaremos algumas regras de potenciação, veja:
(30)^p = (2*3*5)^p = 2^p * 3^p * 5^p #utilizamos a distributiva.
Agora, sabemos que o M.D.C é 36.
O mdc é o produto dos fatores primos comuns de menor expoente, então faremos experimentações:
Os fatores primos comuns são 2 e 3, mas não sabemos se p é menor que 4 ou 2, então:
p não pode ser maior que 4, caso contrário, o mdc seria o próprio 144.
p então deve ser menor que 4, sabemos então que a primeira parcela da multiplicação será:
2^p
A única forma de te não ter p na segunda parcela, seria tendo ele igual a 3, ja que é inteiro positivo, vamos ver se ele vale 3?
2^p * 3^2 = 36
2^3 * 3^2 = 36
8 * 9 = 36 <=== errado
Nesse caso, p é igual ou menor que 2, então iremos achar da seguinte forma:
2^p * 3^2 = 36
2^p = 36/9
2^p = 4
2^p = 2^2
p = 2 <============== RESPOSTA
144/36 = 4
(30)^p / 36 = 25
(30)^p = 900
(30)^p = 30^2
p = 2
144|2
072|2
036|2
018|2
009|3
003|3
001 /
144 =2^4 . 3^2
(30)^p = 2^p . 3^p . 5^p
Fatores que se repetem: 2 e 3
MDC = produtos dos fatores que se repetem com menor expoente, logo, p = 2 (expoentes de 2 e 3)
36 = 2^2 x 3^2