En paÃses no occidentales como China o India, este triángulo se conocÃa y fue estudiado por matemáticos cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones. En China es conocido como Triángulo de Yanghui.
Las cifras escritas en las filas, tales como: «1 2 1» y «1 3 3 1» recuerdan las identidades:
pues son los coeficientes de sus monomios y, además, se puede generalizar para cualquier potencia del binomio:
VÃnculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton [editar]La expresión que proporciona las potencias de una suma se denomina Binomio de Newton.
(1)
En esta expresión, lo único que se desconoce son los coeficientes de los monomios.
Los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n se encuentran en la lÃnea «n + 1» del Triángulo de Pascal.
El desarrollo de (a + b)4 consiste en el desarrollo de (a + b) (a + b)³.
Si sólo se escriben los coeficientes, obtenemos la siguiente suma:
Obviamente, aparecen las mismas cifras desplazadas en una posición: la suma consiste en añadir a un coeficiente el coeficiente situado a su derecha, y esto es justamente lo que se obtiene en el triángulo de Pascal.
Coeficientes del binomio de Newton [editar]Se inscribe el triángulo de Pascal en una tabla para poder nombrar a cada coeficiente del mismo. El número en la lÃnea n y la columna p se denota:
o más raramente
("C" por "combinación") (por ejemplo en calculadoras de bolsillo, como la TI-86 y familia), y se dice "n sobre k", "'combinación de n en k"' mucho más corto que "coeficiente binomial n, k". Las casillas vacÃas corresponden a valores nulos. Por definición misma, tenemos, (para todo n natural):
para cualquier valor de a y b. De hecho, es una igualdad de polinomios en Z[a, b]. Sin perder en generalidad, resulta a veces más práctica la "definición" :
vista como una igualdad de polinomios en Z[X]. De esta fórmula se deducen dos consecuencias:
Tomando X = 1 se obtiene:
La suma de los coeficientes de una misma lÃnea vale 2n. En efecto: 1 = 20, 1 + 1 = 2 = 2¹, 1 + 2 + 1 = 4 = 2², 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³, 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24 ... · Con X = -1 se obtiene, (n > 0):
: la suma alterna de los números de una misma lÃnea vale 0.
En efecto: 1 - 1 = 0, 1 - 2 + 1 = 0, 1 - 3 + 3 - 1 = 0, 1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0, 1 - 5 + 10 - 10 + 5 - 1 = 0 ... Las propiedades que hemos observado en el triángulo se pueden ahora escribir con todo rigor:
.
(costados izquierdos y derechos del triángulo).
.
("segunda capa").
.
(simetrÃa respecto al eje vertical del triángulo).
.
cuando p > n (corresponde a la zona fuera del triángulo).
Y claro, la regla de construcción del triángulo da la relación fundamental de los coeficientes binomiales:
En paÃses no occidentales como China o India, este triángulo se conocÃa y fue estudiado por matemáticos cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones. En China es conocido como Triángulo de Yanghui.
Las cifras escritas en las filas, tales como: «1 2 1» y «1 3 3 1» recuerdan las identidades:
pues son los coeficientes de sus monomios y, además, se puede generalizar para cualquier potencia del binomio:
VÃnculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton [editar]La expresión que proporciona las potencias de una suma se denomina Binomio de Newton.
(1)
En esta expresión, lo único que se desconoce son los coeficientes de los monomios.
Los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n se encuentran en la lÃnea «n + 1» del Triángulo de Pascal.
Comments
No se
pero sigue buscando
http://mx.answers.yahoo.com/question/?qid=20081008...
El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico cuyas primeras lÃneas, por ejemplo están representadas en la tabla adjunta.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
El Triángulo se construye de la siguiente manera: sobre un papel cuadriculado, escribimos el número «1», centrado en la parte superior; después, escribimos una serie de números «1» en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados; sumamos las parejas de cifras situadas horizontalmente y separadas por una casilla en blanco (1 + 1), y el resultado (2) lo escribimos debajo de dicha casilla; continuamos el proceso escribiendo, en las casillas inferiores, la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3)...
Espero haberte ayudado
Suerte !!!!!!!!!!!!!!!!
Triángulo de Pascal
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(Redirigido desde Coeficiente binomial y triángulo de Pascal)
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Triángulo de Pascal o de TartagliaEl triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico cuyas diez primeras lÃneas están representadas en la tabla adjunta.
En paÃses no occidentales como China o India, este triángulo se conocÃa y fue estudiado por matemáticos cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones. En China es conocido como Triángulo de Yanghui.
El interés del Triángulo de Pascal radica en su aplicación en álgebra.
Contenido [ocultar]
1 Composición del Triángulo de Pascal
2 VÃnculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton
3 Coeficientes del binomio de Newton
4 Interpretación en combinatoria
5 Generalización
6 Otra forma de dibujar el triángulo
7 BibliografÃa
Composición del Triángulo de Pascal [editar]El Triángulo se construye de la siguiente manera: sobre un papel cuadriculado, escribimos el número «1», centrado en la parte superior; después, escribimos una serie de números «1» en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados; sumamos las parejas de cifras situadas horizontalmente y separadas por una casilla en blanco (1 + 1), y el resultado (2) lo escribimos debajo de dicha casilla; continuamos el proceso escribiendo, en las casillas inferiores, la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3)...
Las cifras escritas en las filas, tales como: «1 2 1» y «1 3 3 1» recuerdan las identidades:
pues son los coeficientes de sus monomios y, además, se puede generalizar para cualquier potencia del binomio:
VÃnculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton [editar]La expresión que proporciona las potencias de una suma se denomina Binomio de Newton.
(1)
En esta expresión, lo único que se desconoce son los coeficientes de los monomios.
Los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n se encuentran en la lÃnea «n + 1» del Triángulo de Pascal.
Hemos visto que era cierto para n = 2 y n = 3; también lo es para n = 0: (a + b)o = 1 = 1·aob0 y con n = 1: (a + b)¹ = a + b = 1·a + 1·b.
Para obtener el resultado de cualquier valor de n â N, se procede por inducción matemática. Suponiendo que es cierto para un valor de n, deducimos que lo es también para n+1. Observemos lo que sucede con n = 4.
El desarrollo de (a + b)4 consiste en el desarrollo de (a + b) (a + b)³.
Si sólo se escriben los coeficientes, obtenemos la siguiente suma:
Obviamente, aparecen las mismas cifras desplazadas en una posición: la suma consiste en añadir a un coeficiente el coeficiente situado a su derecha, y esto es justamente lo que se obtiene en el triángulo de Pascal.
Coeficientes del binomio de Newton [editar]Se inscribe el triángulo de Pascal en una tabla para poder nombrar a cada coeficiente del mismo. El número en la lÃnea n y la columna p se denota:
o más raramente
("C" por "combinación") (por ejemplo en calculadoras de bolsillo, como la TI-86 y familia), y se dice "n sobre k", "'combinación de n en k"' mucho más corto que "coeficiente binomial n, k". Las casillas vacÃas corresponden a valores nulos. Por definición misma, tenemos, (para todo n natural):
para cualquier valor de a y b. De hecho, es una igualdad de polinomios en Z[a, b]. Sin perder en generalidad, resulta a veces más práctica la "definición" :
vista como una igualdad de polinomios en Z[X]. De esta fórmula se deducen dos consecuencias:
Tomando X = 1 se obtiene:
La suma de los coeficientes de una misma lÃnea vale 2n. En efecto: 1 = 20, 1 + 1 = 2 = 2¹, 1 + 2 + 1 = 4 = 2², 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³, 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24 ... · Con X = -1 se obtiene, (n > 0):
: la suma alterna de los números de una misma lÃnea vale 0.
En efecto: 1 - 1 = 0, 1 - 2 + 1 = 0, 1 - 3 + 3 - 1 = 0, 1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0, 1 - 5 + 10 - 10 + 5 - 1 = 0 ... Las propiedades que hemos observado en el triángulo se pueden ahora escribir con todo rigor:
.
(costados izquierdos y derechos del triángulo).
.
("segunda capa").
.
(simetrÃa respecto al eje vertical del triángulo).
.
cuando p > n (corresponde a la zona fuera del triángulo).
Y claro, la regla de construcción del triángulo da la relación fundamental de los coeficientes binomiales:
.
Interpretación en combinatoria [editar]Los coeficientes binomiales son la base misma de la combinatoria. Veamos por qué: Tomemos de nuevo un binomio, por ejemplo (a + b)3, y desarrollémoslo, pero de una manera distinta del párrafo anterior:
luego quitemos las paréntesis, pero sin cambiar el orden en los productos, es decir sin aplicar la conmutatividad:
Y agrupemos los términos que contienen el mismo número de a, (y de b):
El primer paréntesis contiene todas las palabras constituidas de un b y dos a. En este caso, es fácil ver qu
Triángulo de Pascal o de TartagliaEl triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico cuyas diez primeras lÃneas están representadas en la tabla adjunta.
En paÃses no occidentales como China o India, este triángulo se conocÃa y fue estudiado por matemáticos cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones. En China es conocido como Triángulo de Yanghui.
El interés del Triángulo de Pascal radica en su aplicación en álgebra.
Contenido 1 Composición del Triángulo de Pascal
2 VÃnculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton
3 Coeficientes del binomio de Newton
4 Interpretación en combinatoria
5 Generalización
6 Otra forma de dibujar el triángulo
7 BibliografÃa
Composición del Triángulo de Pascal El Triángulo se construye de la siguiente manera: sobre un papel cuadriculado, escribimos el número «1», centrado en la parte superior; después, escribimos una serie de números «1» en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados; sumamos las parejas de cifras situadas horizontalmente y separadas por una casilla en blanco (1 + 1), y el resultado (2) lo escribimos debajo de dicha casilla; continuamos el proceso escribiendo, en las casillas inferiores, la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3)...
Las cifras escritas en las filas, tales como: «1 2 1» y «1 3 3 1» recuerdan las identidades:
pues son los coeficientes de sus monomios y, además, se puede generalizar para cualquier potencia del binomio:
VÃnculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton [editar]La expresión que proporciona las potencias de una suma se denomina Binomio de Newton.
(1)
En esta expresión, lo único que se desconoce son los coeficientes de los monomios.
Los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n se encuentran en la lÃnea «n + 1» del Triángulo de Pascal.
Hemos visto que era cierto para n = 2 y n = 3; también lo es para n = 0: (a + b)o = 1 = 1·aob0 y con n = 1: (a + b)¹ = a + b = 1·a + 1·b.
Para obtener el resultado de cualquier valor de n â N, se procede por inducción matemática. Suponiendo que es cierto para un valor de n, deducimos que lo es también para n+1. Observemos lo que sucede con n = 4.
No es complicado pero si muy largo.
TE SIRVE PARA SACAR LOS EXPONENTES AL ELEVAR UN POLINOMIO A UNA POTENCIA N ES ESTE
1
1 2 1
1 2 3 2 1
1 2 3 3 2 1
VE SUMANDO LOS COEFICIENTES CON SU ANTECESOR
(A+B)2 = A2+2(AB)+B2
(A+B)3 = A3+2(A2B)+3(AB)+2(AB2)+B3
ESPERO QUE LE VAYAS ENTENDIENDO