Ajuda com derivadas, por favor?! :)?
"Uma das bases de um trapézio isóceles é o diâmetro de um circulo de raio r e as extremidades da outra base estão sobre a circunferencia do círculo. Sabendo-se que a área do trapézio é máxima, determine o comprimento da outra base."
Como fazer? Por favor, me ajudem :x
Comments
Faça o desenho do circulo de raio r e com um trapézio isósceles inscrito dentro dele, sendo que a base maior do trapézio coincide com o diametro do circulo e portanto mede 2r.
A base menor mede x, e a altura do trapézio mede h.
Fazendo o desenho vc percebe que ,por pitágoras, temos:
h² + (x/2)² = r² ---> h = √(4r² - x²) / 2
A area A de um trapézio é dada pela metade do produto entre a soma das bases do trapézio e sua altura.
Resumindo:
A(x) = (2r + x).√(4r² - x²) / 4 , onde x > 0 e r > 0.
Para saber para que valor de x a função A(x) tem valor máximo, devemos calcular a primeira derivada de A(x) e em seguida igualá-la a zero.
A´(x) = 1/4.[(2r + x).√(4r² - x²)]´ = 1/4.[√(4r² - x²) + (2r + x).(-2x) / 2√(4r² - x²)] =
= √(4r² - x²)/4 - (2rx + x²)/4√(4r² - x²)
Queremos A´(x) = 0.Então:
√(4r² - x²)/4 - (2rx + x²)/4√(4r² - x²) = 0 ----> √(4r² - x²)/4 = (2rx + x²)/4√(4r² - x²)
---> 4r² - x² = 2rx + x² ----> 2x² + 2rx - 4r² = 0 ----> x1 = r e x2 = -2r
Como queremos valores positivos para x, então o valor x2 = -2r é "jogado fora".
Logo, para que tenhamos a area máxima do trapézio, sua base menor deve medir r.
bjoo
Hunm, Isa-chan, não lembro como se faz isso não... Está estudando Engenharia?
Está sumida....
Se cuida.