¿como resuelvo esta serie?
Tengo que hallar la suma de la serie Σ(1+2^n+3^n)/(5^n) desde n=2 hasta infinito
inf
Σ(1+2^n+3^n)/(5^n)
n=2
se que el resultado es 73/60= 1,2167 (usando wolframalpha) pero necesito ver el procedimiento
Tengo que hallar la suma de la serie Σ(1+2^n+3^n)/(5^n) desde n=2 hasta infinito
inf
Σ(1+2^n+3^n)/(5^n)
n=2
se que el resultado es 73/60= 1,2167 (usando wolframalpha) pero necesito ver el procedimiento
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Voy a aproximar tu resultado como sigue:
Suma = S = Σ(1+2^n+3^n)/(5^n)
desde n = 2 hasta el infinito
Otra forma de escribir esto es factorizando el primer término de la suma:
S = [(1+2^2+3^2) / 5] [1 + Σ(1+2^n+3^n)/(5^n)]
desde n = 2 hasta el infinito
Observa que el último término de S anterior es precisamente S, entonces
S = [14/25] [1+S] = [14/25] + [14/25]S
Despejando
[25/25]S - [14/25]S = 14/25
[11/25]S = 14/25
S = 14 / 11 = 1,27272727... Esto es una aproximación, la factorización inicial no es del todo exacta, pero el error no está tan prolongado porque los números a n grandes son cada vez más chicos.
Se dice que S converge en este valor. Este método que usé es conocido en libros; el ejemplo que estudié fue con la serie S = Σ1/(2^n), siguiendo el mismo procedimiento descubres que S = 2, practícala.