Polinômio ache as raizes?

Ache todas as raizes da equação x^6 - 7x^3 - 8 = 0

Resposta contém numero complexo.

Comments

  • Esta questão é tão trabalhosa que eu tive vontade de fazer x)

    Como é uma equação de sexto grau ela terá ao todo 6 raizes.

    Esta questão tem uma parte simples e uma parte muito trabalhosa, se voce não entender alguma parte que eu não detalhei muito pode postar outra pergunta que eu responderei, primeiro a parte simples:

    x^6 = (x^3)^2 , usando a notação que x^3=y para simplificar as contas temos:

    y² - 7y - 8 = 0

    Resolvendo esta equação de segundo grau achamos:

    y =-1 ou y=8

    Como y = x^3, temos que:

    x^3 = 8 >> x = (raiz cúbica de 8)

    ou x^3 = -1 >> x = (raiz cúbica de -1)

    Agora vem a parte complicada, resolvendo normalmente, ignorando os números complexos, vamos achar somente uma resposta para cada uma das equações acima (no caso achariamos -1 e 8), o que está correto, mas há tambem as raízes complexas e como ele pede TODAS as raízes teremos um bucado de trabalho para acha-las. Vamos resolver primeiro x = (raiz cúbica de 8)

    Pela segunda fórmula de Moivre toda raiz de x grau de um número complexo (8 e -1 são números complexos reais), tem x soluções.

    Como as equações pedem raízes cúbicas (3º grau), cada uma delas vai ter 3 respostas, o que totaliza 6 respostas.

    *Resolvendo:

    O número 8 pode ser escrito na forma de número complexo (a+bi) do seguinte modo:

    8 + 0i, podemos transformar agora esse complexo na forma trigonometrica, transformarei direto pois senão vai ficar enorme a resposta, ficamos com:

    z = 8 (Cos 0° + i.Sen 0°)

    Agora vamos usar a segunda formula de moivre (formula da radiciação de complexos) para achar as tres respostas dessa equação:

    raiz cúbica de z = raiz cúbica de 8 (Cos [0° + k360 / 3] + i. (Sen [0° + k360 / 3])

    Lembrando que no caso da raiz cúbica de 8 consideramos só a raiz real para resolver a equação

    O valor de k é natural e varia de 0 até n-1, onde n é o grau da raiz que queremos encontrar, como é raiz de terceiro grau, o k vai variar de 0 até 3-1, ou seja vai variar de 0 a 2)

    *Resolvendo:

    Para k = 0 > raiz cúbica de z = 2 (Cos 0º + i.Sen 0°) => z = 2 (1 + i.0)

    z = 2

    Para k = 1 > raiz cúbica de z = 2 (Cos 120° + i.Sen 120°) =>

    z = 2 (-1/2 + i.√3/2) = -1 + √3i

    Para k = 2 > raiz cúbica de z = 2 (Cos 240º + i.Sen 240°) =>

    z = 2 (-1/2 + i. (-√3/2) = -1 - √3i

    Pronto já achamos as três soluções para a raiz cúbica de 8.

    Agora vamos resolver a raiz cúbica de -1:

    Na forma de número complexo o número -1 fica:

    -1 + 0i, na forma trigonométrica temos:

    z = 1 (Cos 180° + i.Sen 180°) ,aplicando a fórmula de moivre (radiciação de complexos) para achar as soluções temos:

    raiz cúbica de z = raiz cúbica de 1 (Cos [180° + k360 / 3 + i. Sen [180° + k360/3]

    Como já explicado antes na raiz cúbica de 1 só consideraremos a solução real e o k vai variar de 0 até 2 (lembrando que tambem é raiz cúbica [terceiro grau])

    *Resolvendo:

    Para k=0 > raiz cúbica de z = 1 (Cos 60° + i.Sen 60°) => 1 (1/2 +

    i.√3/2) = 1/2 + √3/2 i

    Para k=1 > raiz cúbica de z = 1 (Cos 180° + i.Sen 180°) => 1 (-1 + i.0) = -1

    Para k=2 > raiz cúbica de z = 1 (Cos 300° + i.Sen 300°) => 1 (1/2 + i.[-√3/2]) = 1/2 - √3/2 i

    Agora achamos as três soluções para a raiz cúbica de -1, então no total já temos nossas 6 soluções para o problema:

    S1 = 2

    S2 = -1 + √3i

    S3 = -1 - √3i

    S4 = -1

    S5 = 1/2 + √3/2 i

    S6 = 1/2 - √3/2 i

    Ufa, acabou :)

    Espero realmente ter ajudado, realmente será uma satisfação x) qualquer dúvida na questão poste outra pergunta o/

    Abraço.

  • x^6 - 7x³ - 8 = 0

    y=x³

    y²-7y-8=0

    y=[7+-√81]/2

    y'=8

    y"=-1

    Para y=8:

    x³=8.....x=2

    (x³-8)/(x-2)=x²+2x+4

    x²+2x+4=0

    x=[-2+-√-12]/2

    x'=-1+√3.i

    x"=-1-√3.i

    Para y=-1

    x³=-1......x=-1

    (x³+1)/(x+1)=x²-x+1

    x²-x+1=0

    x=[1+-√-3]/2

    Resposta:

    x1=2

    x2=-1

    x3=-1-√3.i=-1-1,732.i

    x4=-1+√3.i=-1+1,732.i

    x5=(1-√3.i)/2=0,5-0,866.i

    x6=(1+√3.i)/2=0,5+0,866.i

  • Solução: Fazendo x³=y, resulta y²+7y-8=0 portanto

    y=[-7(+ou-)(7²-4.1.(-8))¹/²]/2

    y1=1

    y2=-8

    Vamos resolver a equação binômia x³=y1=1 da qual decorre que as soluções são as raizs cúbicas de 1. Assim temos |1|=1 e θ1=0, vem:

    uk=1 * (cos 2kpi/3+i.sen 2kpi/3) , k ϵ {0,1,2}

    u0=1 * (cos0+i*sen0)=1

    u1=1 * (cos 2pi/3+i*sen 2pi/3)=-1/2+i*(3)¹/²/2

    u2 = 1 * (cos 4pi/3+i*sen4pi/3)=-1/2- i *(3)¹/²/2

    Vamos resolver a equação binômia x³=y2=-8 da qual decorre que as soluções são as raízes cúbicas de -8. Como |-8| = 8 e θ2=pi, vem.

    vk = 2 [ cos (pi/3+k*2pi/3)+i*sen(pi/3+k*2pi/3)], k ϵ {0,1,2}

    v0 = 2 * (cos pi/3+i*senpi/2)=1+i*(3)¹/²

    v1=2*(cospi +i*sen pi) =-2

    v2=2 * (cos 5pi/3 +i*sen 5pi/3) =1-i*(3)¹/²

    Е o conjunto solução da equação trinômia é:

    S= (1, -1/2 +i*(3)¹/²/2 , -1/2 - i*(3)¹/²/2 , 1 +i*(3)¹/², -2, 1-i *(3)¹/²}.....

  • Esta é uma equação de sexto grau. Há um site da WTAMU, Universidade de Matemática do Oeste do Texas, muito bom por sinal, que tem o método para fazer isso. como é bastante trabalhoso não vou expor aqui. Se realmente te interessa, acesse e estude.

  • x^6 - 7x^3 - 8 = 0

    t = x^3

    t^2 - 7t -8=0

    Delta= 49 - 32 = 17

    t= 7 +- raiz de 17, tudo dividido 2.

    (7+-raiz de 17)/2= x^3

    [(7+-raiz de 17)/2]^3=x

    isso!!!

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