COMO RESOLVER ESSE LIMITE SEM USAR L'HOPITAL?

louie

lim (x - 4)/(x - sqrt(x) - 2)

x->4

SEM USAR L'HOPITAL

maria-descartes

Veja:

f(x) = (x - 4)/(x -√(x) - 2)

Fazendo x=t²

f(t²) = (t² - 4)/(t² -√(t²) - 2)

f(t²) =(t+2)(t - 2)/(t² -t - 2)

f(t²) =(t+2)(t - 2)/(t-2)(t +1)

f(t²) =(t+2)/(t +1)

x->4

x=t²

t->2

Lim(x->4)(x - 4)/(x -√(x) - 2)=

Lim(t->2)(t+2)/(t +1)=

Lim(t->2)(2+2)/(2 +1)=4/3

cleyton

Racionalize o denominador, multiplicando por (x - 2 + sqrt(x)) em cima e embaixo:

(x - 4)/(x - sqrt(x) - 2) = (x - 4)/(x - sqrt(x) - 2) * [(x - 2 + sqrt(x))/(x - 2 + sqrt(x))]

= (x - 4)*(x - 2 + sqrt(x))/(x^2 - 4x + 4 - x)

= (x - 4)*(x - 2 + sqrt(x))/(x^2 - 5x + 4)

Mas note que (x^2 - 5x + 4) = (x - 1) * (x - 4). Logo,

= (x - 4)*(x - 2 + sqrt(x)) / [(x - 1) * (x - 4)]

= (x - 2 + sqrt(x)) / (x - 1)

Substituindo o x --> 4, obtemos

= ( 4 - 2 + 2) / 3 = 4 / 3