(CEUBD-DF) Calcular o volume de um paralelepípedo retângulo sabendo que a área total é de 180 m²...?
a diagonal da base é de 10 m e a soma das arestas que concorrem em um mesmo vértice é 17 m.
a) V = 120 m³
b) V = 144 m ³
c) V = 169 m³
d) V = 196 m³
a diagonal da base é de 10 m e a soma das arestas que concorrem em um mesmo vértice é 17 m.
a) V = 120 m³
b) V = 144 m ³
c) V = 169 m³
d) V = 196 m³
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2(a*b)+2(b*c)+2(c*a)=180
a+b+c=17
a²+b²=10²
8²+6²=10²
(8 e 6 são os números inteiros neste intervalo que dão esse resultado).
64+36=100
c=17-(a+b)
c=17-(8+6)
c=17-14
c=3m
Dimensões: altura=3m
......................largura=6m
......................comprimento=8m
V=3*6*8=144m³
2(a*b)+2(b*c)+2(c*a)=180
2(8*6)+2(6*3)+2(3*8)=180
2*48+2*18+2*24=180
96+36+48=180
180=180
b) V = 144 m ³
2ab+2ac+2bc = A = 180 m², a+b+c = 17, (diag)² = a²+b²=100
O sistema não é linear, portanto teremos que isolar uma das variáveis.
Dividindo a primeira equação por 2 e isolando a variável c:
ab + c(a + b) = 90 .... c = (90 - ab)/(a + b)
(a + b) + c = 17 ..... c = 17 - (a+b) = (90 - ab)/(a+b) Multipl. por a+b
17(a+b) - (a+b)² = 90 - ab .... Desenvolvendo:
17(a+b)-a²-2ab-b²=90-ab .... 17(a+b)-a²-ab-b²=90 ... 17(a+b)-(a²+b²)-ab =90 ... Mas (a² + b²) = 100 .... 17(a+b)-(100)-ab=90 ... 17(a+b)-ab=190
Tomando o valor de ab na primeira equação: ab=90-ac-bc = 90-c(a+b)
Substituindo esse valor na equação anterior:
17(a+b) - [90 - c(a+b)] = 190 .... 17(a+b) + c(a+b) = 280. Tomando o valor de c=17-(a+b) e substituindo na última equação:
17(a+b) + [17-(a+b)](a+b) = 280 .... 17(a+b)+17(a+b)-(a+b)²= 280
34(a+b) - (a+b)² = 280 Se fizermos a+b=k, teremos a eq. de 2º grau:
34k - k² = 280, cujas raÃzes são 20 e 14. Vamos testá-las em busca do valor de c: .... c=17-(a+b) .... c=17-20 .... c = -3. Não serve. Vamos testar a+b=14 .... c=17-14 ..... c = 3. Serve! Vamos substituir esse valor na outra eq. em c, ou seja: c = (90-ab)/(a+b)
3 = (90-ab)/14 .... 90 - ab = 42 .... ab = 48. Como nós já dispomos dos
valores de (ab) e de (c), já podemos calcular o produto (ab).(c), que é o volume do paralelepÃpedo tão desejado! V = a.b.c = 48*3 = 144 m^3