Matemática/Circunferência - Alguém sabe responder?

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(FUVEST)

Determine a equação da circunferência que passa pelo ponto (9, raiz de 3) e que é tangente às retas y = 0 e y = (raiz de 3)x.

Não consegui chegar na resposta.

A resposta correta é:

(x - 6)² + (y - 2(raiz de 3))² = 12

ou

(x - 14)² + (y - 14(raiz de 3)/3)² = 196/3

Alguém sabe me dizer como resolver?

Update:

Em todo caso, agradeço sua boa vontade em ajudar!

Update 3:

Na Veia,

Sua resposta está perfeita. Entendi tudo o que disse. Ainda tenho apenas uma pequena dúvida. A fórmula de distância de ponto a reta trabalha com valor em módulo, e nas duas vezes em que ela foi utilizada (na distância do centro (Xo, Yo) à reta Y=0 e à reta Y=V3x), os valores negativos foram desconsiderados. Trabalhou-se somente com os valores positivos.

Você sabe por que podemos desconsiderar os valores negativos?

Tem alguma coisa a ver com o fato das duas circunferências estarem no primeiro quadrante? Não entendi bem isso.

Agradeço quem souber me dizer.

na-veia

Determine a equação da circunferência que passa pelo ponto (9, V3) e que é tangente às retas y = 0 e y =(V3) x.

Se vc fizer um esboço verá que são possiveis duas circunferencias , a direita e a esquerda do ponto (9, V3), e que tangenciam as retas.

Sendo o centro = O ( Xo,Yo) , as distancias (d) das retas e do ponto até O, elas serão as mesmas e iguais ao R = raio .

Distancia O(Xo,Yo) a reta y = 0 => d = Yo==> (1)

Distancia O(Xo,Yo) a reta y = (V3) x => d = [(V3) Xo -Yo] /2==> (2)

Comparando (1) e (2) :

Yo = [(V3)Xo]/3 ===> (3)

Distancia O(Xo,Yo) ao ponto (9, V3)=> d²= (9-Xo)²+(V3 -Yo)²

d² = (81-18Xo + Xo²) +[3 - 2(V3)Yo + Yo²]

Como :

d = Yo==> (1) => d² = Yo²

e

Yo = [(V3)Xo]/3 ===> (3)

Fica:

Yo² = (81-18x + Xo²) +[3 - 2(V3)(V3)Xo/3) + Yo²]

Xo² - 20Xo +84 = 0

Xo' = 6 ..e...Xo" = 14

Substituindo em (3):

Yo'= 2V3..e..Yo" = 14V3 /3

d = r = > d² = r² ==> substitua em (1)

e depois substitua em (X-Xo)² +(Y-Yo)² = r²

Resposta:

(x - 6)² + (y - [2(V3)]² = 12

ou

(x - 14)² + (y - [14V3)/3]² = 196/3

maria-descartes

Veja:

Primeiro faça o esboço do gráfico.

Você verá que o diâmetro(d) da circunferencia é igual à distância entre os pontos (9,0) e (9;√3).

d=√(9-9)²+(√3-0)²

d=√(0)²+(√3)²

d=√3

r=√3/2

C=(9;√3/2)

Logo, a equação da circunferência é:

(x-9)²+(y-√3/2)²=3/4

Agora que eu vi.

Achei que a reta fosse y=√3, mas é y=√3x.

A solução abaixo a meu ver está correta.

Abraços.