facticemos y³ - 1 como diferencia de cubos (y³ - 1³, aplicando la regla a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)) y y² - 1 como diferencia de cuadrados (y² - 1², aplicando la regla a² - b² = (a + b)(a - b))
x [x² (y - 1)(y² + y + 1) - (y + 1)(y - 1)] =
saquemos el factor común (y - 1):
x (y - 1) [x² (y² + y + 1) - (y + 1)] =
concluyendo con:
x (y - 1)(x²y² + x²y + x² - y - 1)
===============================
x⁴ + 64 =
escribamos el binomio como suma de dos cuadrados:
(x²)² + 8² =
completemos el cuadrado restando y sumando 16x²:
(x²)² + 16x² + 8² - 16x² =
[(x²)² + 16x² + 8²] - 16x² =
(reescribiendo ésta como diferencia de dos cuadrados)
(x² + 8)² - (4x)² =
(aplicando la regla a² - b² = (a + b)(a - b))
[(x² + 8) + 4x] [(x² + 8) - 4x] =
concluyendo con:
(x² + 4x + 8)(x² - 4x + 8)
==================================
x³ - 8y³ + x² - 4y² + 2x²y - 4y²x =
agrupemos lo términos como:
(x³ - 8y³) + (x² - 4y²) + (2x²y - 4y²x) =
saquemos 2xy del tercer grupo:
(x³ - 8y³) + (x² - 4y²) + 2xy (x - 2y) =
factoricemos el primer grupo como diferencia de cubos y el segundo grupo como diferencia de cuadrados:
[x³ - (2y)³] + [x² - (2y)²] + 2xy (x - 2y) =
(aplicando las reglas a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) y a² - b² = (a + b)(a - b))
Comments
Hola,
x³y³ - x³ - xy² + x =
primero saquemos el factor común x:
x (x²y³ - x² - y² + 1) =
agrupemos lo términos como:
x [(x²y³ - x²) - (y² - 1)] =
saquemos x² del primer grupo:
x [x² (y³ - 1) - (y² - 1)] =
facticemos y³ - 1 como diferencia de cubos (y³ - 1³, aplicando la regla a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)) y y² - 1 como diferencia de cuadrados (y² - 1², aplicando la regla a² - b² = (a + b)(a - b))
x [x² (y - 1)(y² + y + 1) - (y + 1)(y - 1)] =
saquemos el factor común (y - 1):
x (y - 1) [x² (y² + y + 1) - (y + 1)] =
concluyendo con:
x (y - 1)(x²y² + x²y + x² - y - 1)
===============================
x⁴ + 64 =
escribamos el binomio como suma de dos cuadrados:
(x²)² + 8² =
completemos el cuadrado restando y sumando 16x²:
(x²)² + 16x² + 8² - 16x² =
[(x²)² + 16x² + 8²] - 16x² =
(reescribiendo ésta como diferencia de dos cuadrados)
(x² + 8)² - (4x)² =
(aplicando la regla a² - b² = (a + b)(a - b))
[(x² + 8) + 4x] [(x² + 8) - 4x] =
concluyendo con:
(x² + 4x + 8)(x² - 4x + 8)
==================================
x³ - 8y³ + x² - 4y² + 2x²y - 4y²x =
agrupemos lo términos como:
(x³ - 8y³) + (x² - 4y²) + (2x²y - 4y²x) =
saquemos 2xy del tercer grupo:
(x³ - 8y³) + (x² - 4y²) + 2xy (x - 2y) =
factoricemos el primer grupo como diferencia de cubos y el segundo grupo como diferencia de cuadrados:
[x³ - (2y)³] + [x² - (2y)²] + 2xy (x - 2y) =
(aplicando las reglas a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) y a² - b² = (a + b)(a - b))
(x - 2y)[x² + 2xy + (2y)²] + (x + 2y)(x - 2y) + 2xy (x - 2y) =
(x - 2y)(x² + 2xy + 4y²) + (x + 2y)(x - 2y) + 2xy (x - 2y) =
saquemos el factor común (x - 2y):
(x - 2y)[(x² + 2xy + 4y²) + (x + 2y) + 2xy] =
(x - 2y)(x² + 2xy + 4y² + x + 2y + 2xy)
(x - 2y)(x² + 4y² + 4xy + x + 2y)
agrupemos lo términos como:
(x - 2y)[(x² + 4xy + 4y²) + (x + 2y)]
en donde x² + 4xy + 4y² es un trinomio cuadrado perfecto:
(x - 2y){[x² + 2(2xy) + (2y)²} + (x + 2y)} =
(x - 2y)[(x + 2y)² + (x + 2y)] =
saquemos el factor común (x + 2y):
(x - 2y)(x + 2y)[(x + 2y) + 1] =
concluyendo con:
(x - 2y)(x + 2y)(x + 2y + 1)
==========================
x⁹ - y⁹ =
se trata de una diferencia de cubos:
(x³)³ - (y³)³ =
luego apliquemos la regla a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
(x³ - y³)[(x³)² + x³y³ + (y³)²] =
(x³ - y³)(x⁶ + x³y³ + y⁶) =
x³ - y³ se puede ulteriormente factorizar como diferencia de cubos, concluyendo con:
(x - y)(x² + xy + y²)(x⁶ + x³y³ + y⁶)
espero haber sido de ayuda
¡Saludos!