lim (x - 4)/(x - sqrt(x) - 2)
x->4
SEM USAR L'HOPITAL
Veja:
f(x) = (x - 4)/(x -√(x) - 2)
Fazendo x=t²
f(t²) = (t² - 4)/(t² -√(t²) - 2)
f(t²) =(t+2)(t - 2)/(t² -t - 2)
f(t²) =(t+2)(t - 2)/(t-2)(t +1)
f(t²) =(t+2)/(t +1)
x=t²
t->2
Lim(x->4)(x - 4)/(x -√(x) - 2)=
Lim(t->2)(t+2)/(t +1)=
Lim(t->2)(2+2)/(2 +1)=4/3
Racionalize o denominador, multiplicando por (x - 2 + sqrt(x)) em cima e embaixo:
(x - 4)/(x - sqrt(x) - 2) = (x - 4)/(x - sqrt(x) - 2) * [(x - 2 + sqrt(x))/(x - 2 + sqrt(x))]
= (x - 4)*(x - 2 + sqrt(x))/(x^2 - 4x + 4 - x)
= (x - 4)*(x - 2 + sqrt(x))/(x^2 - 5x + 4)
Mas note que (x^2 - 5x + 4) = (x - 1) * (x - 4). Logo,
= (x - 4)*(x - 2 + sqrt(x)) / [(x - 1) * (x - 4)]
= (x - 2 + sqrt(x)) / (x - 1)
Substituindo o x --> 4, obtemos
= ( 4 - 2 + 2) / 3 = 4 / 3
Comments
Veja:
f(x) = (x - 4)/(x -√(x) - 2)
Fazendo x=t²
f(t²) = (t² - 4)/(t² -√(t²) - 2)
f(t²) =(t+2)(t - 2)/(t² -t - 2)
f(t²) =(t+2)(t - 2)/(t-2)(t +1)
f(t²) =(t+2)/(t +1)
x->4
x=t²
t->2
Lim(x->4)(x - 4)/(x -√(x) - 2)=
Lim(t->2)(t+2)/(t +1)=
Lim(t->2)(2+2)/(2 +1)=4/3
Racionalize o denominador, multiplicando por (x - 2 + sqrt(x)) em cima e embaixo:
(x - 4)/(x - sqrt(x) - 2) = (x - 4)/(x - sqrt(x) - 2) * [(x - 2 + sqrt(x))/(x - 2 + sqrt(x))]
= (x - 4)*(x - 2 + sqrt(x))/(x^2 - 4x + 4 - x)
= (x - 4)*(x - 2 + sqrt(x))/(x^2 - 5x + 4)
Mas note que (x^2 - 5x + 4) = (x - 1) * (x - 4). Logo,
= (x - 4)*(x - 2 + sqrt(x)) / [(x - 1) * (x - 4)]
= (x - 2 + sqrt(x)) / (x - 1)
Substituindo o x --> 4, obtemos
= ( 4 - 2 + 2) / 3 = 4 / 3