Caso a resistencia do ar não fosse desprezivel , as equações x=Vo.t e y=g.t^2/2seriam as mesmas?

paloma-c

me ajudem , por favor não encontro respostas para essa questao

marcus-m

Não seria. A resistência do ar pode ser aproximada como proporcional ao quadrado da velocidade.

Então se uma força constante F atuasse em um corpo sob uma força de resistência do ar, então:

m.x'' = F - K.x'

Para este tipo de equação a solução x(t) é da forma x(t) = A + B.t + Cexp(Dt)

Derivando:

v(t) = x'(t) = B + C.D.exp(Dt)

Derivando novamente

a(t) = x"(t) = C.D.D.exp(Dt)

Substituindo as soluções na equação:

m.CD^2.exp(Dt) = F - K(B+C.D.exp(Dt)

(m.C.D^2 + K.C.D)exp(Dt) + KB - F = 0

Para que isso valha para qualquer t, então:

m.C.D^2 + K.C.D = 0

KB-F = 0

Para C e D diferentes de zero a primeira equação fica:

m.D + K = 0 => D = -K/m

Para K diferente de zero!

B = F/K

As constantes B e D foram determinadas, as outras são determinadas conforme as condições iniciais de posição(x(0) = xo) e velocidade (v(0) = vo)

v(0)=vo = x'(0) = B + C.D.exp(D.0) = F/K -C.K/m => CK/m = F/K-vo

C = m(F/K-vo)/K

x(0) = xo = A + C => A = xo - m(F/K-vo)/K

Então as soluções para o movimento de um corpo movimentado pela força F e sujeito a uma resistência do ar seria dada por:

x(t) = xo - m(F/K-vo)/K + Ft/K + m(F/K-vo)/Kexp(-Kt/m)

x(t) = xo + Ft/K + m(F/K-vo)/K[exp(-Kt/m)- 1]

v(t) = F/K + (vo - F/K)exp(-Kt/m) =F/K[1- exp(-Kt/m)] + vo.exp(-Kt/m)

a(t) = -K/m(vo - F/K)exp(-Kt/m)

Quanto o tempo t passa, o termo exponencial tende a zero, então:

v(inf) -> F/K => velocidade limite

a(inf) -> 0 => quando a aceleração da gravidade se cancela com a resistência do ar e o corpo não acelera mais, seguindo o movimento uniforme com a velocidade limite constante.

x(inf) -> xo + Ft/K