¿Un GENIO para resolver este problema ?

yanina

Se dibuja un triangulo isósceles en un semicírculo de 4 cm de radio con el vértice en el centro del circulo. Demostrar que para obtener máxima área, la base del triangulo debe medir 4√2. (cuatro por raíz cuadrada de dos)

El método con derivadas por favor¡¡ =D

yamagain

Primero se debe encontrar la función a maximizar. Con un poco de geometría analítica podemos calcular la medida de la base y la altura del triángulo en forma algebraica, y de esta forma encontrar la función asociada al área.

Ayudémonos del siguiente gráfico: http://www.subirimagenes.cl/upload/images/IIM0.png

Sabemos que el área del triángulo es base*altura / 2

Según el dibujo:

base = 2x

altura = y

Entonces Area es:

2x*y / 2 = x*y

Luego la función que se debe maximizar es:

A(x) = x*y

Pero aún debemos expresar la variable "y" en términos, de x, lo cual se puede hacer aplicando Pitágoras:

y^2 + x^2 = 16

Despejando y:

y =√ (16 - x^2)

Entonces:

A(x) = x * √ (16 - x^2)

Calculemos la derivada de la función A(x):

A'(x) = x' * √ (16 - x^2) + x* (√ (16 - x^2))'

A'(x) = √ (16 - x^2) + x* (-x / √ (16 - x^2))

A'(x) = √ (16 - x^2) - x^2 / √ (16 - x^2)

A'(x) = (16 - x^2 - x^2) / √ (16 - x^2))

Igualando a 0 :

(16 - x^2 - x^2) / √ (16 - x^2)) = 0

16 - x^2 - x^2 = 0

-2x^2 +16 = 0

2x^2 - 16 = 0

2x^2 = 16

x^2 = 8

Aplicando raíz cuadrada finalmente se tiene:

x = 2√2

Listo ya sabemos que x debe valer 2√2 para que la función se haga máxima, y si vemos el gráfico nuevamente, la base mide 2x, por lo tanto esto es 4√2.

Conclusión: Para que el área se maximice en un triángulo isósceles con vértice en el centro de un semicírculo de radio 4, la base debe medir 4√2.

anonymous

Primero hay que definir la funcion del semicirculo de radio 4:

y=√(16-x²)

Ahora tenemos que el area esta dada por:

A=bh/2

En un triangulo isoceles el vertice pasa por la mitad de la base, y la mitad de la base estara dada por x, por lo tanto la base es 2x y la altura es y, osea la funcion del semicirculo, sustituyendo esto queda:

A=2x√(16-x²)/2

A=x√(16-x²)

Cuando el Area sea maxima, la derivada del area sera 0, entonces derivamos:

A'=xd(√(16-x²))/dx + √(16-x²) dx/dx

Sustituimos la derivada por 0 y derivamos el resto:

0=-x²/√(16-x²) +√(16-x²)

Sumamos:

0=(16-x²-x²)/√(16-x²)

Pasamos el √(16-x²) multiplicando por 0 y se elimina:

0=16-2x²

2x²=16

x²=8

x=√8

Ahora que conocemos x, y sabiendo que la base es 2x, sustituimos:

b=2x

b=2√8

b=2*√(4*2)

b=2*√4*√2

b=2*2√2

b=4√2

Saludos!

jayden-robertson_60b140f0301db

jaja tampoco es para tanto, pongamoslo simple; La raíz cuadrada de 2, o simplemente raíz de 2 se define como el único número real positivo tal que, multiplicado por sí mismo, es igual a 2. La notación tradicional, utilizando el símbolo de radicación es , utilizando la notación de potencias : 21/2 . La raíz cuadrada de 2 es un número irracional (más aún, algebraico ), su valor numérico es aproximadamente 1.4, y truncado en 65 dígitos decimales es: [1]

1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799...