Questão de PA e PG Alguem poderia dizer a resolução?
Somando-se um valor constante k a cada um dos termos da sequência (2;1;3), obtém-se nessa ordem, uma nova sequência, que é uma progressão geometrica. A soma dos termos dessa progressão é igual a:
Somando-se um valor constante k a cada um dos termos da sequência (2;1;3), obtém-se nessa ordem, uma nova sequência, que é uma progressão geometrica. A soma dos termos dessa progressão é igual a:
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a1 = 2 + k
a2 = 1 + k
a3 = 3 + k
a2² = a1 . a3
(1+k)² = (2+k).(3+k)
1 + 2k + k² = 6 + 2k + 3k + k²
1 + 2k = 6 + 5k
2k - 5k = 6 - 1
- 3k = 5
k = - 5 / 3
a1 = 2 + k = 2 - 5/3 = 6 - 5 / 3 = 1/3
a2 = 1 + k = 1 - 5/3 = 3 - 5 / 3 = - 2/3
a3 = 3 + k = 3 - 5/3 = 9 - 5 / 3 = 4/3
a2 = a1 . q
- 2/3 = 1q/3
- 6/3 = q
q = - 2
a3 = a2.q
4/3 = - 2q/3
4 = - 2q
q = - 2
a1 + a2 + a3 = 1
OK, a gente quer saber a soma total. Para isso, a gente tem que descobrir o valor de k.
Um termo, numa PG, pode ser descrito como a0*r^n;
"a0" = 1º termo (esse "0" subscrito),
"r" = a razão, e
"n" = o número do termo (note que o 2º termo é 1, o 3º é 2, e por assim vai).
Vamos adicionar a constante k à seqüência:
(2+k), (1+k), (3+k) forma uma PG. Agora, a gente define o primeiro como a0, e podemos descrevê-lo como (2+k)*r° (r° = 1, ou seja, isso não altera em nada).
O segundo termo será a*r¹. Mas "a" é o primeiro termo, então
(2+k)*r¹ = 1+k
O segundo termo será a*r²; então,
(2+k)*r² = 3+k
Temos duas equações, e duas incógnitas, dá pra resolver.
(2+k)*r¹ = 1+k // primeira equação
(2+k)*r² = 3+k // segunda equação
r = (1+k)/(2+k) // isolando "r" na primeira
(2+k)(1+k)²/(2+k)² = 3+k // substituindo na segunda
(1+k)²/(2+k) = 3+k // simplificando
(1+k)² = (3+k)(2+k) //passando o denominador p/ outro lado
k²+2k+1 = k²+5k+6 //propriedade distributiva
-3k = 5 //simplificando bastante
k = -5/3 //resposta final: k é -5/3
Se quiser, dá pra calcular "r", mas não vai ser necessário.
Então, temos a PG (2-5/3);(1-5/3);(3-5/3).
Simplificando, dá (1/3);(-2/3);(4/3).
Somando os termos... 3/3 = 1.
Resultado da questão, 1.
Espero ter ajudado, abraços!
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Observação: note que minha resposta ficou mais longa que a dos outros; mas, embora a deles seja mais direta e use o velho a1*a3 = a2*a2 , o raciocÃnio que usei aqui dá pra estender a situações aonde essa propriedade não ajuda
A soma (2+k)+(1+k)+(3+k) vale 6+3k.
Se (2+k), (1+k), (3+k) formam uma progressão geométrica (PG), então (2+k).(3+k) = (1+k)²
Assim 6 +2k + 3k + k² = 1 + 2k + k²
Ou 6 + 3k = 1.
Logo, a soma dos termos vale 1. Nem precisamos calcular o valor de k para isso...
a nova sequencia será
(2+,1+k,3+k), que agora virou uma PG.
Uma relação conhecida de PG é a seguinte
a2*a2=a1*a3
(k+1)^2=(2+k)*(3+k)
k^2+2k+1=6+5k+k^2
-5k+2k=6-1
-3k=5
k=-5/3
2+k 1+k 3+k formam uma pg
(1+k)/(2+k) = (3+k)/(1+k)
(1+k)^2 = (2+k)(3+k)
1 + k^2 + 2k = 6 + 2k + 3k + k^2
1 = 6 + 3k
3k = -5
k = -5/3