Questão de P.G.(progressão geométrica), me ajuda a resolver?
Determine a razão e o primeiro termo de uma progressão geométrica de onze termos, em que a soma dos 10 primeiros termos é 3069 e a soma dos 10 últimos é 6138.
Determine a razão e o primeiro termo de uma progressão geométrica de onze termos, em que a soma dos 10 primeiros termos é 3069 e a soma dos 10 últimos é 6138.
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A soma de uma PG é dada por
S = a1*(q^n - 1)/(q-1), onde a1 é o primeiro termo e q é a razão
Temos então que
3069 = a1*(q^(10) - 1)/(q-1)
6138= a1*q*(q^(10) - 1)/(q-1)
Assim, q = 6138/3069 = 2
Substituindo temos
3069 = a1*(2^(10) - 1)/(2-1) = a1(1024-1)
a1 = 3069/1023 = 3
As respostas acima estão certas.
Ofereço só um outro modo de
construir a solução :
Seja St = Soma dos 10 primeiros TERMOS.
Seja Ss = Soma dos seus SUCESSIVOS
Seja n = 10 = número de termos em cada soma.
A soma de uma PG limitada é :
S = A1 ( q^n ─ 1 ) / ( q ─ 1).
Logo :
St = A1 (q^10 ─ 1) / ( q ─ 1)
Ss = A1.q (q^10 ─ 1) / ( q ─ 1)
Simplificando, faço: X = (q^10 ─ 1) / ( q ─ 1)
St / X = A1 ===> A1 = 3069/X
Ss / X = A1.q ===> A1.q = 6138/X
Por regra de três, obtenho o valor de A1.q
A1 : 3069/(X.A1) :: A1.q : 6138/(X.A1) ::
A1.q = (6138/(X.A1) × A1) / 3069/(X.A1)
A1.q = 6138 × A1 / 3069
A1.q = 2×A1
q = 2
Mas: X = (q^10 ─ 1) / ( q ─ 1), então :
X = (2^10 ─ 1) / ( 2 ─ 1). ===> X = 1023
Da primeira igualdade, acima :
St = A1 (q^10 ─ 1) / ( q ─ 1)
St = A1 (2^10 ─ 1) / ( 2 ─ 1)
St = A1 × 1023 ===> 3069 = A1 × 1023
A1 = 3
q = ?
a1 = ?
n = 11
a1 + a1q+ a1q² + a1q³ + a1q^4 + a1q^5 + a1q^6 + a1q^7 + a1q^8 + a1q^9 = 3069
a1q + a1q² + a1q³ + a1q^4 + a1q^5 + a1q^6 + a1q^7 +a1q^8 + a1q^9 + a1q^10 = 6138
a1(1 + q + q² + q³ + q^4 + q^5 + q^6 + q^7 + q^8 + q^9) = 3069
a1q(1 + q + q² + q³ + q^4 + q^5 + q^6 + q^7 + q^8 + q^9) = 6138
Divide uma pela outra, iremos ter:
1 / q = 1 / 2
q = 2
S = a1(q^n - 1) / q - 1
3069 = a1(2^10 - 1) / 2 - 1
3069 = a1 . 1023
a1 = 3
Resposta: A razão é 2 e o primeiro termo é 3.