URGENTISIMO PARA MAÑANA! quien sabe "linea recta de geometria analitica"..?

rocio

Estamos con una amiga intentando resolverlos, y de verdad no nos sale =S Si alguien nos pudiera ayudar aunque sea con unos estariamos muy agradecidas ^^

•hallar la ecuacion de la recta que es paralela a la que tiene por ecuacion 3x+2y-9=0 y cuya distacia del origen es 8

•hallar la ecuacion del lugar geometrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia del punto (-2,1) es siempre igual al triple de su distancia de la recta y+4=0

•los vertices de un cuadrado son A(0,0) B(2,4) C(6,7) D(8,0) hallar la ecuacion de sus lados

•una recta pasa por el punto A(7,8) Y ES PARALELA a la recta C(-2,2) y D(3,-4) hallar la ecuacion

•el triangulo cuyos vertices son A(-2,1) B(4,7) C(6,-3) hallar la ecuacion de la recta que que pasa por el vertice A y es paralela al lado opuesto de bc y de ese mismo hallar la ecuacion de las alturas de su puntos de interseccion este se llama ortocentro

Muchisimas gracias ^^

mano-amiga

Si una recta es paralela a otra, las 2 tendrán la misma pendiente. Hallemos entonces la pendiente de las recta que nos dan:

3x + 2y - 9 = 0

2y = -3x + 9

y = (-3x + 9) / 2

y = (-3/2)x + (9/2)

Su pendiente "m" es el coeficiente de la "x", entonces será

m = -3/2

Así, la recta buscada tendrá la forma

y = (-3/2)x + n

donde

n = intercepto con el eje Y [ la recta pasa por el punto (0, n) ].

Si llevamos esta ecuación a la forma general de la recta resulta:

(3/2)x + y - n = 0

multipliquemos todo por 2 para quitarnos de encima la fracción:

2(3/2)x + 2y - 2n = 0(2)

3x + 2y - 2n = 0

El origen es el punto (0, 0). La distancia D de un punto cualquiera a una recta se define por la fórmula

. . . .| ax + by + c |

D = ----------------------

. . . . . √(a² + b²)

donde el numerador es el valor absoluto de la ecuación general de la recta, reemplazando "x" y "y" por las coordenadas del punto conocido.

Reemplacemos solamente los valores de D (que nos dan y es 8) y de la ecuación de la recta, aún NO reemplacemos el punto en esa ecuación:

. . . .| 3x + 2y - 2n |

8 = -----------------------

. . . . .√(3² + 2²)

. . . .| 3x + 2y - 2n |

8 = -----------------------

. . . . . √(9 + 4)

. . . .| 3x + 2y - 2n |

8 = -----------------------

. . . . . . . √13

8√13 = | 3x + 2y - 2n |

Ahora sí reemplacemos las coordenadas del punto (0, 0):

8√13 = | 3(0) + 2(0) - 2n |

8√13 = | 0 + 0 - 2n |

8√13 = | -2n |

y así, por definición de valor absoluto, o bien

8√13 = -2n

(8√13) / (-2) = n

-4√13 = n

o bien

8√13 = -(-2n)

8√13 = 2n

(8√13) / 2 = n

4√13 = n

Tenemos 2 rectas paralelas a la que nos dan inicialmente cuya distancia al origen es 8. Reemplazamos el valor de "n" en la ecuación que hallamos para ella, y resulta:

3x + 2y - 2n = 0

Para n = 4√13 tenemos

3x + 2y - 2(4√13) = 0

3x + 2y - 8√13 = 0 . . . . . primera recta paralela a la que nos dan y a 8 unidades del origen

Para n = -4√13 tenemos

3x + 2y - 2(-4√13) = 0

3x + 2y + 8√13 = 0 . . . . segunda recta paralela a la que nos dan y a 8 unidades del origen

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La distancia D1 del punto (x, y) al punto (-2, 1) es 3 veces la distancia D2 que hay del punto (x, y) a la recta y + 4 = 0.

0x + 1y + 4 = 0 . . . . es la misma recta

Hallemos D1 por definición de distancia entre 2 puntos, y hallemos D2 por definición de distancia de un punto a una recta.

D1 = √[ (x2 - x1)² + (y2 - y1)² ]

D1 = √{ [ x - (-2) ]² + (y - 1)² }

D1 = √[ (x + 2)² + (y - 1)² ]

D2 = | ax + by + c | / √(a² + b²)

D2 = | 0x + 1y + 4 | / √(0² + 1²)

D2 = | y + 4 | / √(0 + 1)

D2 = | y + 4 | / √1

D2 = | y + 4 | / 1

D2 = | y + 4 |

Sabemos que

D1 = 3D2

entonces

√[ (x + 2)² + (y - 1)² ] = 3.| y + 4 |

el valor absoluto se puede expresar como la raíz cuadrada (positiva) del número elevado al cuadrado:

√[ (x + 2)² + (y - 1)² ] = 3√(y + 4)²

elevamos todo al cuadrado:

{ √[ (x + 2)² + (y - 1)² ] } ² = [ 3√(y + 4)² ] ²

(x + 2)² + (y - 1)² = 3²[√(y + 4)² ]²

(x + 2)² + (y - 1)² = 9(y + 4)²

desarrollamos binomios cuadrados:

x² + 4x + 4 + y² - 2y + 1 = 9(y² + 8y + 16)

x² + 4x + y² - 2y + 5 = 9y² + 72y + 144

x² + 4x - 8y² - 74y - 139 = 0

La anterior es la ecuación buscada.

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La ecuación de cada lado se halla mediante la aplicación de la forma punto-punto de la ecuación de la recta.

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La pendiente de la recta que pasa por C y por D es

m = [ 2 - (-4) ] / (-2 - 3)

m = (2 + 4) / (-5)

m = 6 / (-5)

m = -6/5

La recta pedida tiene la misma pendiente (por ser paralela), y pasa por A:

y - 8 = (-6/5)(x - 7)

y - 8 = (-6/5)x + (42/5)

y = (-6/5)x + (42/5) + 8

y = (-6/5)x + (42/5) + (40/5)

y = (-6/5)x + (82/5)

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Ya me cansé.... todos se hacen igual.

Paralelo = misma pendiente

Perpendicular = m1.m2 = -1

forma punto-pendiente de la recta: y - y1 = m(x - x1)

forma punto-punto de la recta: y - y1 = [ (y2 - y1) / (x2 - x1) ](x - x1)

intersección entre 2 rectas: se llevan sus ecuaciones a la forma

y = mx + n

y luego se igualan los 2 lados derechos y se resuelve. El resultado es la coordenada "x" del punto de corte; se reemplaza en la ecuación de cualquiera de las 2 rectas y se obtiene "y". El punto (x, y) es el punto de corte de las 2.