geometria analitica - retas perpendiculares - ponto de intersecçao?

anonymous

A equacão da reta que é perpendicular à reta 3y + 4x - 3 = 0 e que passa pelo ponto de intersecção das retas y + 4x - 13 = 0 e y - 2x -1 = 0 é:

a) 4y - 3x + 15 = 0 b) 4y + 3x - 14 = 0 c) 4y + 3x + 15 = 0 d) 4y + 3x - 13 = 0 e) 4y - 3x - 14 = 0

resposta gabarito: e)

Tentei mas não consigo achar a resposta

anonymous

Vamos resolver primeiro o sistema formados pelas retas concorrentes

y + 4x - 13 = 0 e y - 2x -1 = 0.

y + 4x - 13 = 0

y - 2x -1 = 0

y + 4x = 13

y - 2x = 1 > y = 2x + 1

Substituindo agora (y = 2x + 1) em (y + 4x = 13):

y + 4x = 13

(2x+ 1) + 4x = 13

6x = 12 .:. x = 2

Substituindo x = 2 em (y = 2x + 1) vamos ter:

y = 2x + 1 > y = 2(2) + 1 .:. y = 5

Temos o ponto (2,5) como ponto de intersecçao das retas y + 4x - 13 = 0 e y - 2x -1 = 0.

Vamos encontrar o coeficiente angular da reta 3y + 4x - 3 = 0. Para isso vamos por essa equaçao na forma reduzida (y = mx + b) que será:

3y + 4x - 3 = 0 >> 3y = - 4x + 3 .:. y = (-4/3)x + 1

Portanto o coeficiente da reta 3y + 4x - 3 = 0 é m = -4/3. Vamos chamar esse coeficiente de m1.

Na geometria analitica dizemos que duas retas sao perpendiculares se e somente se m1.m2 = -1

m1 e m2 sao os chamados coeficientes angular:

Ja que temos m1 = -4/3 vamos substituir esse valor na equaçao m1.m2 = -1 e achar o valor que m2

m1.m2 = -1 >> (-4/3) m2 = -1 >> m2 = -1/(-4/3) .:. m2 = 3/4

Temos que m2 = 3/4 que que o ponto de intersecçao das retas dadas acima é (2,5). Agora basta usar a equaçao ponto inclinaçao y - y1 = m(x-x1) e achar a equaçao da reta pedida

y - y1 = m(x-x1) >> y - 5 = 3/4 (x-2) >> y - 5 = (3x/4) - (6/4) >> 4y - 20 = 3x - 6

.:. 4y - 3x - 14 = 0

É isso cara, um pouco grande mas isso é matemática

naum-interessa

y+ 4x - 13 = 0 → y + 4x = 13

y -2x - 1 = 0 → y -2x = 1

Eu não desenvolverei esse sistema para dar a resposta, simplesmente, darei as respostas, pois é obrigação de quem estuda geometria analítica saber resolução de sistemas lineares. Se não souber, vai pro o youtube e veja algumas video aulas.

x = 2

y = 5

Ponto de intersecção I(2,5) é o ponto no qual passa a reta que é perpendicular à 3y + 4x - 3 = 0

m é o coeficiente angular, o produto de coeficientes angulares de retas perpendiculares é igual a -1.

Assim

r1: 3y + 4x - 3 = 0 → m1= -a/b = -4/3

r2: perpendicular a r1 → m2 * m1 = -1 → m2 = - 1/m1 → m2 = -1/ (-4/3) → m2 = 3/4

m2 = ( y - y1 ) / ( x - x1 )

(x1, y1) = I ( 2,5 ) → x1 = 2 e y1 = 5

m2 = ( y - y1 ) / ( x - x1 )

3/4 = ( y - 5 ) / ( x - 2 )

y - 5 = 3/4 ( x - 2 )

y - 5 -3/4x + 6/4 = 0

y - 3/4x + 3/2 - 5 = 0

y - 3/4x - 7/2 = 0

Essa é a resposta, como ela não está presente entre as opções, multiplica-se por 4

y - 3/4x - 7/2 = 0 * 4

4y - 3x - 14 = 0

Opção e

PS1: Se eu não for avaliado por essa questão nem que seja como ruim, eu vou abandonar esse porcaria do Yahoobr, a gente rala resolvendo a questao para nem ser avaliado?