¿Como calculo este limite trigonometrico?

lim ((cosx)-(sen^2x)-1)/(cosx-cos^2x)

x->0

sin la regla del Lhopital porfas gracias

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  • lim [ cos(x) - sen²(x) - 1 ) ] / [ cos(x) - cos²(x) ] = -3

    x→0

    *********************************

    Previo:

    1) sen²(x) + cos²(x) = 1 ⇔ cos²(x) - 1 = - sen²(x)

    2) cos²(x) + cos(x) -2 = [ cos(x) - 1 ] * [ cos(x) + 2 ]

    Sale la descomposición factorial de:

    cos²(x) + cos(x) -2 = 0

    Cambio de base: cos(x) = u

    en:

    cos²(x) + cos(x) -2 = 0 ⇔ u² + u -2 = 0

    Aplicamos la formula:

    u = [ -b ± √(b² -4ac) ] / 2a , con a=1, b=1, c=-2

    u = [ -1 ± √(1² -4(1)(-2) ) ] / 2 = [ -1 ± 3 ] / 2 = Que tiene raíces 1 y -2

    3) Descomposición factorial de: [ cos(x) - cos²(x) ] = {- cos(x) * [ cos(x) - 1 ]}

    *********************************

    lim [ cos(x) - sen²(x) - 1 ] / [ cos(x) - cos²(x) ] =

    x→0

    Aplicamos 1)

    lim [ cos(x) + cos²(x) - 1 - 1 ] / [ cos(x) - cos²(x) ] =

    x→0

    lim [ cos²(x) + cos(x) - 2 ] / [ cos(x) - cos²(x) ] =

    x→0

    Aplicamos 2)

    lim [ cos(x) - 1 ] * [ cos(x) + 2 ] / [ cos(x) - cos²(x) ] =

    x→0

    Aplicamos 3)

    lim [ cos(x) - 1 ] * [ cos(x) + 2 ] / {- cos(x) * [ cos(x) - 1 ]} =

    x→0

    Simplificamos [ cos(x) - 1 ] que esta en el numerador y denominador

    lim [ cos(x) + 2 ] / {- cos(x) * } = [ cos(0) + 2 ] / {- cos(0) } = [ 1 + 2 ] / {- 1 } = -3

    x→0

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