¿Como calculo este limite trigonometrico?

preguntas

lim ((cosx)-(sen^2x)-1)/(cosx-cos^2x)

x->0

sin la regla del Lhopital porfas gracias

karen-ward_60ad7c4527e58

No se

carlos-l

lim [ cos(x) - sen²(x) - 1 ) ] / [ cos(x) - cos²(x) ] = -3

x→0

*********************************

Previo:

1) sen²(x) + cos²(x) = 1 ⇔ cos²(x) - 1 = - sen²(x)

2) cos²(x) + cos(x) -2 = [ cos(x) - 1 ] * [ cos(x) + 2 ]

Sale la descomposición factorial de:

cos²(x) + cos(x) -2 = 0

Cambio de base: cos(x) = u

en:

cos²(x) + cos(x) -2 = 0 ⇔ u² + u -2 = 0

Aplicamos la formula:

u = [ -b ± √(b² -4ac) ] / 2a , con a=1, b=1, c=-2

u = [ -1 ± √(1² -4(1)(-2) ) ] / 2 = [ -1 ± 3 ] / 2 = Que tiene raíces 1 y -2

3) Descomposición factorial de: [ cos(x) - cos²(x) ] = {- cos(x) * [ cos(x) - 1 ]}

*********************************

lim [ cos(x) - sen²(x) - 1 ] / [ cos(x) - cos²(x) ] =

x→0

Aplicamos 1)

lim [ cos(x) + cos²(x) - 1 - 1 ] / [ cos(x) - cos²(x) ] =

x→0

lim [ cos²(x) + cos(x) - 2 ] / [ cos(x) - cos²(x) ] =

x→0

Aplicamos 2)

lim [ cos(x) - 1 ] * [ cos(x) + 2 ] / [ cos(x) - cos²(x) ] =

x→0

Aplicamos 3)

lim [ cos(x) - 1 ] * [ cos(x) + 2 ] / {- cos(x) * [ cos(x) - 1 ]} =

x→0

Simplificamos [ cos(x) - 1 ] que esta en el numerador y denominador

lim [ cos(x) + 2 ] / {- cos(x) * } = [ cos(0) + 2 ] / {- cos(0) } = [ 1 + 2 ] / {- 1 } = -3

x→0