Numeros complexos de novo !! 10 pontos !!?

sergio

Determine todas as soluções no campo complexo, da equação w=iz², onde i é a unidade imaginária, isto é, i² = -1 e w é o conjugado de z.

10 pontos ! Me ajudemmm !

carlos-homero-gonalves-carrocin

Caro amigo, lêmbre-se que, se z = a + bi , então o seu conjugado w = a - bi, logo teremos :

w = i.z² ==> a - bi = i.(a + bi)²

a - bi = i.(a² + 2abi + b²i²)

a - bi = i.(a² + 2abi - b²)

a - bi = a²i + 2abi² - b²i

a - bi = - 2ab + a²i - b²i = -2ab + (a² - b²)i

a - bi = -2ab + (a² - b²)i ==> a = - 2ab , e , -b = a² - b²

a = - 2ab ==> a + 2ab = 0 ==> a.(1 + 2b) = 0 ==> a = 0 , ou, 1 + 2b = 0 ==> 2b = - 1 ==> b = - 1/2

Se a = 0 ==> - b = - b² ==> b² - b = 0 ==> b.(b - 1) = 0 ==> b = 0 , ou , b = 1

Logo, se a = 0 ==> b = 0 , ou , b = 1

1ª solução : z = 0

2ª solução : z = i

Se b = - 1/2 ==> - b = a² - b² ==> 1/2 = a² - 1/4 ==> a² = 1/2 + 1/4 ==> a² = 3/4 ==> a = +- \/3/2

Logo, se b = - 1/2 ==> a = \/3/2 , ou , a = - \/3/2

3ª solução : z = \/3/2 - i/2

4ª solução : z = - \/3/2 - i/2

Portanto, o conjunto solução(S) da equação w = iz² é dado por :

S = { 0 , i , \/3/2 - i/2 , - \/3/2 - i/2 }

Um abraço e bons estudos !!

steiner

Você pode também usar a forma trigonométrica de um número complexo, o que, neste caso, me parece mais simples.

z = r cis α

z² = r² cis(2α)

iz² = r² cis(2α + π/2)

w = r cis(-α)

Então, r cis(-α) = r² cis(2α + π/2) . Logo,

r = r², de modo que r = 0 ou r = 1. Se r = 0, z = 0.

Para r = 1, temos então que

-α = 2α + π/2 + 2kπ, k inteiro

α = -π/6 - 2kπ/3

As determinações distintas de α ocorrem para k = 0, 1, 2, levando a

α0 = -π/6

α1 = -5π/6

α2 = -3π/2

O conjunto solução é, portanto,

S = {0, cis(-π/6); cis(-5π/6), cis(-3π/2)}. Em forma algébrica,

S = {0, √3/2 - 1/2 i, -√3/2 - 1/2 i, i}

antigas-veredas

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