Derivar a seguinte função, f(x) = 2x/(x^2 + 1) e depois achar suas raízes.
R: (-1, 1)
vou chamar g(x) = 2x
e h(x) = x² + 1
f(x) = g(x)/h(x) = f(x) = (g/h)(x) ~~ notaçao funcional ~~
f'(x) = (g/h)'(x)
f'(x) = [g'(x).h(x) - g(x).h'(x)]/[h(x)]²
f'(x) = [2.(x² + 1) - (2x).(2x)]/(x² + 1)²
f'(x) = (2x² - 4x² + 2)/(x² + 1)²
f'(x) = ( - 2x² + 2)/(x² + 1)²
f'(x) = 2( 1 - x²)/(x² + 1)²
tá, agr as raizes da derivada:
0 = 2( 1 - x²)/(x² + 1)²
multiplica os dois lados por (x² + 1)² ~~ esse fator será sempre diferente de zero em R, entao n tem problema ~~
0 = 2 (1 - x²)
0 = 1 - x²
x² = 1
|x| = 1 , logo x = -1 ou x = 1
é isso, ali em cima para conseguir a derivada do quociente usei o que chamamos de 'regra do quociente'..
abraço
Veja:
f(x) = 2x/(x^2 + 1)
f '(x) =[2x'.(x^2 + 1)-2x.(x^2 + 1)']/(x^2 + 1)²
f '(x) =[2.(x^2 + 1)-2x.2x]/(x^2 + 1)²
f '(x) =[2x^2 + 2-4x²]/(x^2 + 1)²
f '(x) =[-2x^2 + 2]/(x^2 + 1)²
f '(x) =-2[x^2 - 1]/(x^2 + 1)²
-2[x^2 - 1]/(x^2 + 1)²=0
x²-1=0
x²=1
x'=1
x"=-1
Derivada de A/B = (AB' - A'B)/B²
f '(x) = [(2x).(2x) - (2)(x² + 1)]/ (x² + 1)²
f ' (x) = [4x² - 2x² - 2]/(x² + 1)²
f ' (x) = (2x² - 2)/(x² + 1)²
Para f ' (x) = 0, apenas o numerador pode ser zero
2x² - 2 = 0
Simplificando
x² - 1 = 0
x = 1 ou x = -1
Comments
vou chamar g(x) = 2x
e h(x) = x² + 1
f(x) = g(x)/h(x) = f(x) = (g/h)(x) ~~ notaçao funcional ~~
f'(x) = (g/h)'(x)
f'(x) = [g'(x).h(x) - g(x).h'(x)]/[h(x)]²
f'(x) = [2.(x² + 1) - (2x).(2x)]/(x² + 1)²
f'(x) = (2x² - 4x² + 2)/(x² + 1)²
f'(x) = ( - 2x² + 2)/(x² + 1)²
f'(x) = 2( 1 - x²)/(x² + 1)²
tá, agr as raizes da derivada:
0 = 2( 1 - x²)/(x² + 1)²
multiplica os dois lados por (x² + 1)² ~~ esse fator será sempre diferente de zero em R, entao n tem problema ~~
0 = 2 (1 - x²)
0 = 1 - x²
x² = 1
|x| = 1 , logo x = -1 ou x = 1
é isso, ali em cima para conseguir a derivada do quociente usei o que chamamos de 'regra do quociente'..
abraço
Veja:
f(x) = 2x/(x^2 + 1)
f '(x) =[2x'.(x^2 + 1)-2x.(x^2 + 1)']/(x^2 + 1)²
f '(x) =[2.(x^2 + 1)-2x.2x]/(x^2 + 1)²
f '(x) =[2x^2 + 2-4x²]/(x^2 + 1)²
f '(x) =[-2x^2 + 2]/(x^2 + 1)²
f '(x) =-2[x^2 - 1]/(x^2 + 1)²
-2[x^2 - 1]/(x^2 + 1)²=0
x²-1=0
x²=1
x'=1
x"=-1
R: (-1, 1)
Derivada de A/B = (AB' - A'B)/B²
f '(x) = [(2x).(2x) - (2)(x² + 1)]/ (x² + 1)²
f ' (x) = [4x² - 2x² - 2]/(x² + 1)²
f ' (x) = (2x² - 2)/(x² + 1)²
Para f ' (x) = 0, apenas o numerador pode ser zero
2x² - 2 = 0
Simplificando
x² - 1 = 0
x² = 1
x = 1 ou x = -1