Função Composta?

estela

(U.F. Viçosa-MG) Sejam f, g: R-->R dadas por: f(x) = x² - 2x e g(x)= ax + b

a) determine f(g(x))

b) Calcule os valores de a e b para os quais os números 0 e 1 sejam raízes da equação f(g(x)).

P.S: eu conseguir achar a função f(g(x)) que é a²x² + 2a(b-1)x + (b²-2b) mas não conseguir encontrar a questão da letra b. A resposta do livro é: (a= 0 e b= 0), (a=0 e b= 2), (a=2 e b=0) e (a= -2 1 b=2)

kay

Olá!

a)

Substitua o "x" de f(x) pela função g(x) já expandida:

f(g(x)) = (a·x + b)² – 2·(a·x + b) = a²·x² + 2·a·b·x + b² – 2·a·x – 2·b = a²·x² + b² – 2·b + 2·a·x·(b – 1)

b)

Seja o sistema:

f(g(0)) = 0 ⇔ a²·0² + b² – 2·b + 2·a·0·(b – 1) = 0 ⇔ b² – 2·b = 0 (I)

f(g(1)) = 0 ⇔ a²·1² + b² – 2·b + 2·a·1·(b – 1) = 0 ⇔ a² + b² – 2·b + 2·a·(b – 1) = 0 (II)

Substituindo I em II:

a² + 0 + 2·a·(b – 1) = 0 ⇔ a² + 2·(b – 1)·a = 0

⇒ Δ = [ 2·(b – 1) ]² - 4·1·0 = [ 2·(b – 1) ]²

⇒ a = [ – ( 2·(b – 1) ) ± √Δ ] ÷ 2 = [ – ( 2·(b – 1) ) ± 2·(b – 1) ] ÷ 2 = 1 – b ± (b – 1)

Assim:

⇒ a₁ = 0

⇒ a₂ = 2 – 2·b

De I:

b² – 2·b = 0 ⇔ b·(b – 2) = 0

⇒ b₁ = 0

⇒ b₂ = 2

Com a₁, temos:

b₁: S₁ = { a = 0; b = 0 }

b₂: S₂ = { a = 0; b = 2 }

Com a₂, temos:

b₁: S₃ = { a = 2; b = 0 }

b₂: S₄ = { a = –2; b = 2 }