Para e=1 , existe un No tal que (ln (n))³ /n<1 para todo n>No
Esto es:
Para e=1 , existe un No tal que
1/n<1 / (ln (n))³ para todo n>No
Luego
∑ 1 /n <∑ 1 /(ln (n))³ , si n>No
Entonces:
+oo......No-1....+oo
∑1 /n =∑1 /n+∑1 /n
n=2......n=2....n=No
y de la misma forma:
+oo..............No-1............+oo
∑1 /(ln (n))³ =∑1 /(ln (n))³+∑1 /(ln (n))³
n=2.............n=2...........n=No
..........No-1
Sea R=∑1/n
..........n=2
........No-1
Sea S=∑1/(ln (n))³
..........n=2
Entonces:
+oo.........+oo
∑ 1 /n -R<∑ 1 /(ln (n))³ -S
n=2.........n=2
Entonces
+oo......+oo
∑ 1 /n <∑ 1 /(ln (n))³ +(R-S)
n=2......n=2
Por comparación directa:
Como la serie armónica diverge sigue que:
+oo
∑ 1 /(ln (n))³ +(R-S)
n=2
diverge si y sólo si
+oo
∑ 1 /(ln (n))³ diverge.
n=2
Saludos.
.....................................
Edito : por tratarse de un ejemplo conocido de utilzación del criterio integral de Cauchy (no sé si sale de otra forma) directamente te dejo el link con la prueba para el caso general:
Comments
La serie diverge , pues
1/n<1 / (ln (n))³ , a partir de un cierto n
sii
(ln (n))³ /n<1 , a partir de cierto n
como
lim (ln (n))³ /n=0
n->+oo
Para e=1 , existe un No tal que (ln (n))³ /n<1 para todo n>No
Esto es:
Para e=1 , existe un No tal que
1/n<1 / (ln (n))³ para todo n>No
Luego
∑ 1 /n <∑ 1 /(ln (n))³ , si n>No
Entonces:
+oo......No-1....+oo
∑1 /n =∑1 /n+∑1 /n
n=2......n=2....n=No
y de la misma forma:
+oo..............No-1............+oo
∑1 /(ln (n))³ =∑1 /(ln (n))³+∑1 /(ln (n))³
n=2.............n=2...........n=No
..........No-1
Sea R=∑1/n
..........n=2
........No-1
Sea S=∑1/(ln (n))³
..........n=2
Entonces:
+oo.........+oo
∑ 1 /n -R<∑ 1 /(ln (n))³ -S
n=2.........n=2
Entonces
+oo......+oo
∑ 1 /n <∑ 1 /(ln (n))³ +(R-S)
n=2......n=2
Por comparación directa:
Como la serie armónica diverge sigue que:
+oo
∑ 1 /(ln (n))³ +(R-S)
n=2
diverge si y sólo si
+oo
∑ 1 /(ln (n))³ diverge.
n=2
Saludos.
.....................................
Edito : por tratarse de un ejemplo conocido de utilzación del criterio integral de Cauchy (no sé si sale de otra forma) directamente te dejo el link con la prueba para el caso general:
http://ma.usb.ve/cursos/basicas/ma2115/guias/ma4-c...
ver página 6 , ejemplo 6.
Saludos nuevamente
mmmmmmmmmmm:
>>>la seria converge utiliza el criterio del cociente y el hecho de q
ln(n)<ln(n+1) donde n es natural.
el termino general de la serie 1/ (ln (n))^3 disminuye para valores crecientes de n ; luego la serie converge ; y e hará cero en n= infinito