Problema moto relativo (fisica). help?
Un elicottero, volando a bassa quota ( h=200m) alla velcotià v1= 200 km/h lascia cadere sulla propria verticale una bomba in modo da colpire un carro armato che viaggia con velocità v2= 50km/h. A quale angolo rispetto alla verticale il pilota deve vedere l'obiettivo al momento di sganciare la bomba? Con quale velocità ed inclinazione la bomba arriva sul carro armato nel sistema di riferimento solidale al carro?
Penso che sia un problema dove si deve applicare il moto relativo.. Grazie in anticipo a chi risponde coerentemente e non chi lascia scritto due cavolate solo per guadagnare punti risposta!
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Ovviamente conviene mettersi in un sistema di riferimento solidale con il carro armato.
In questo sistema il carro è fermo e l'elicottero viaggia a 150 km/h (sto supponendo, anche se il testo non lo dice, che carro e elicottero viaggino nelle stessa direzione).
Il moto della bomba è composto da un moto rettilineo uniforme in orizzontale x = vt, e un moto accelerato in vericale y = 1/2 gt^2.
Eliminando il tempo otteniamo la traiettoria: y = gx^2 / 2 v^2, e di qui ricaviamo la distanza orizzontale corrispondete a un'altezza h di lancio. Posto y = h, si ha:
x = v radq(2h/g).
La tangente trigonometrica dell'angolo di inclinazione al momento del lancio è data da x/h, per cui l'angolo vale
arctg [v radq(2/(gh)) = arctg [150/3,6 radq(2/(9,8*200))] = arctg 1,33 = 53°
La velocità al momento dell'impatto ha componente orizzontale vx = 150/3,6 = 41,7 m/s costante.
La componente verticale vy si trova dall'equazione y = 1/2 gt^2 sostituendo y = h e t = vy/g:
y = 1/2 vy^2/g, da cui : vy = radq(2gh) = 62,6 m/s
Il modulo della velocità è allora radq(41,7^2 + 62,6^2) = 75 m/s
L'inclinazione (rispeto all'orizzontale) è arct(vy/vx) = arct(1,5) = 56°
Se vogliamo l'angolo con la verticale, è ovviamente il complementare = 34°.
(controlla i calcoli)
Le equazioni da utilizzare sono quelle relative al moto uniformemente accelerato ( infatti l'accelerazione gravitazionale è costante).
s(t) = 1/2*a*t^2 + v0*t + s0
dove v0 è la velocità iniziale; s0 la posizione iniziale. Siccome ci stiamo riferendo a queste due componenti rispetto all'asse verticale saranno entrambe nulle mantenendosi l'elicottero costantemente a 200m da terra. Quindi l'equazione diventa:
s(t) = 1/2 *g*t^2
di questa equazione conosciamo g = 9,81 m/s^2 ; conosciamo s = 200 m , se consideriamo come piano di riferimento il suolo, da cui sfruttando la medesima equazione ricavo:
t = rad( (2*s)/g) = rad( 2*200/9,81)= 6,38 sec
che rappresenta il tempo impiegato dalla bomba per raggiungere il suolo dal momento che viene sganciata.
Nel momento in cui viene sganciata, la bomba si sposta dall'asse verticale in cui si trova l'elicottero in questo istante, muovendosi a velocità (orizzontalmente) di 200km/h cioè 55,6 m/s. (moto rettilineo uniforme) L'equazione del moto a velocità costante è:
v = s / t
a noi interessa calcolare lo spazio, quindi: s = v*t = 55,6 * 6,38 = 354,4 m
E - - - >
| \
| _ \
| _ _\
| _ _ _\
| _ _ __\
| _ _ _ __\
V_______X
L'elicottero si trovava quindi in E quando ha sganciato la bomba e la bomba(X) è caduta 354,4 metri più in la rispetto a V(proiezione sul suolo dell'elicottero lungo l'asse verticale), in un tempo pari alla caduta (6,38 sec)
Nello stesso tempo di caduta, il carroarmato avrà percorso uno spazio pari a s= v* t (ancora moto rettilineo uniforme): dove v è la velocità del carroarmato cioè 13,9 m/s
s = 13,9 * 6,38 = 88,6 m
Quindi il carroarmato deve trovarsi 88,6 metri "prima" rispetto alla X del disegno, quando viene sganciata la bomba in modo da "incontrarla" quando questa (in 6,38 s) arriva al suolo. Quindi rispetto alla verticale (V) il carroarmato si troverà a distanza di 354,4 - 88,6 = 265,8 m
Ora, la velocità con cui viene colpito il carro armato è pari alla somma delle componenti della velocità orizzontale e verticale: la prima vale 200-50 =150km/h = 41,7m/s
la seconda si ricava da un'altra equazione del moto uniformemente accelerato. Poichè ci interessa sapere la velocità(lungo l'asse verticale) della bomba al momento dell'impatto. L'equazione è:
v= vi + a*t
vi, è la velocità iniziale della bomba( rispetto all'asse verticale) e vale 0, quindi:
v = a*t = g*t= 9,81*6,38 = 62,6 m/s
Quindi la velocità totale sarà:
Vtot = rad( 41,7^2 + 62,6^2) = 75,2 m/s
Questa è quindi la velocità con cui la bomba arriva sul carroarmato.
Per l'inclinazione invece si può immaginare un triangolo rettangolo con altezza 200m e base 265,8
e calcolare l'angolo che si forma tra l'altezza e l'ipotenusa:
Angolo = arctg( 265,8/200) = 53° (circa)
Questo è l'angolo con cui il pilota deve vedere l'obiettivo, rispetto all'asse verticale.
Mentre per l'angolo di arrivo della bomba si ha:
arctg ( 62,6/41,7) =56,3°
Se si vuole il risultato rispetto all'asse verticale:
90 - 56,3 = 33,7°
Ho cercato di essere il più dettagliato possibile, spero di esserti stato di aiuto!
allora prima bisogna calcolare il tempo che la bomba impiega per cadere
y=voyt+1/2ayt2
Y=-200m,Voy=0 e si risolve si ottiene 6,38s
adesso per calcolare la velocità finale bisogna sommare con il teorema di pitagora vx e vy
vx è sempre costante ed è 200km/h cioè 55,6 m/s
vy=ayt=9,8x6.38=62.5m/s perchè è un moto di caduta libera
quindi la velocità finale è: 55.6 alla seconda +62.5 alla seconda sotto rad quadrata=83.65m/s
inclinazione della bomba basta fare tan-1(62.5/55.6)delta y fratto delta x=48°
per trovare a quale angolo rispetto alla verticale basta utilizzare il dato della velocità del carro armato!
sottrai 55,6-13.8=41.8m/s
tan-1=(200/41.8)=78°